Question

6．拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式：
（2）判斷拋物線的頂點(diǎn)D與以BC為直徑的⊙M的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)Q在x軸上，若四邊形ACPQ為軸對稱圖形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得BC，DM的長，根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)等腰梯形，可得PC是上底，可得PC的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-b+3=0}\\{16a+4b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{9}{24}}\\{b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
該拋物線的解析式為y=-$\frac{9}{24}$x²+$\frac{3}{4}$x+3；
（2）如圖1，
y=-$\frac{9}{24}$x²+$\frac{3}{4}$x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，$\frac{27}{8}$）．
當(dāng)x=0時，y=3，即C（0，3），B（4，0），
M（2，$\frac{3}{2}$），BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
DM=$\sqrt{（1-2）^{2}+（\frac{27}{8}-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{17}{8}$＞$\frac{5}{2}$，
拋物線的頂點(diǎn)D與以BC為直徑的⊙M的外部；
（3）如圖2，
等腰梯形ACPQ，PC∥AQ，P在對稱軸上，得
P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用中點(diǎn)的性質(zhì)得出M點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用等腰梯形得出PC是梯形的上底是解題關(guān)鍵．