Question

(1)△ABC的高AD、BE相交于點(diǎn)H，AD的延長線交其外接圓于點(diǎn)G(如圖)．試說明為什么△BDH≌△BDG．

(2)在(1)的條件下，若AB＝AC(如圖)，試判斷四邊形BGCH的形狀，并說明理由．

(3)如果△ABC的高AD、BE所在直線相交于圓外的點(diǎn)H時(shí)(如圖)，仍然設(shè)AB＝AC，那么(2)中的結(jié)論仍然成立嗎？為什么？

Answer 1

答案：
解析：

[答案](1)由已知條件知：∠CAD、∠CBE都是∠ACB的余角．∴∠CAD＝∠CBE． 　　∵∠CAD＝∠CBG．∴∠CBE＝∠CBG． 　　∵BD＝BD，∠BDH＝∠BDG＝∴△BHD≌△BDG． 　　(2)四邊形BGCH是菱形．理由如下： 　　證法1：由(1)得△BHD≌△BDG，∴DG＝DH． 　　∴BC垂直平分HG．∴BH＝BG，CH＝CG． 　　∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC．∴BH＝CH． 　　∴BH＝CH＝CG＝BG．∴四邊形BGCH是菱形． 　　證法2：由(1)知△BDH≌△BDG．∴DH＝DG． 　　又AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC． 　　即　　BC與HG互相垂直平分，∴四邊形BGCH是菱形． 　　(3)仍是菱形．理由如下： 　　證法1：∵AB＝AC，AD⊥BC， 　　∴AD垂直平分BC．∴BH＝HC，BG＝CG． 　　∵∠BHD，∠BCA都與∠HBC互余，∴∠BHD＝∠BCA． 　　又∠BGA＝∠BCA．∴∠BHD＝∠BGA． 　　∴BH＝BG．∴BH＝BG＝CG＝HC． 　　即　　四邊形BGCH是菱形． 　　證法2：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∠BCE＝∠ABC＝∠AGC． 　　∵∠BHD、∠BCE都與∠HBC互余， 　　∴∠BHD＝∠BCE＝∠AGC． 　　又∠BDH＝∠CDG．∴△BDH≌△CDG．∴HD＝GD．∴四邊形BGCH是菱形． 　　[剖析]本題以圓內(nèi)接三角形為載體，綜合考查了圓周角的性質(zhì)、垂徑定理、全等三角形、菱形、同角的余角等知識點(diǎn)．要求我們有較強(qiáng)的分析、探索能力及識圖能力和發(fā)散思維能力．