Question

【題目】已知，正方形ABCD的邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在正方形ABCD邊AB，CD，DA上，AH=2．

（1）寫出菱形EFGH的邊長的最小值；

（2）請你探究點F到直線CD的距離為定值；

（3）連接FC，設(shè)DG=x，△FCG的面積為y；

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式并求出y的取值范圍；

②當(dāng)x的長為何值時，點F恰好在正方形ABCD的邊上．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）見解析；（3）①y=6-x，6-2≤y≤6．②x=2時，點F恰好在正方形ABCD的邊上．

【解析】

（1）當(dāng)HG⊥CD，即G與D重合時，菱形EFGH的邊長最小，最小值為4．

（2）過點F作FN∥DM，根據(jù)平行公理可得FN∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)以及平角等于180°可以求出∠1=∠5，然后證明△AEH與△MGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FM=AH，從而得到FM的值不會發(fā)生改變；

（3）①根據(jù)三角形的面積公式即可解決問題；

②如圖連接FH、EG交于點O，作FM⊥AD于M，GN⊥AB于N，FM交GN于J，交EG于K．只要證明四邊形EFGH是正方形，再證明∠EHA≌△HGD，推出DG=AH=2即可解決問題；

（1）當(dāng)HG⊥CD，即G與D重合時，菱形EFGH的邊長最小，

∵AD=6，AH=2，

∴DH=4，

∴菱形EFGH的邊長的最小值為4．

（2）作FM⊥DC交DC的延長線于M，如圖，過點F作FN∥DM，

∵正方形ABCD中AB∥CD

∴FN∥AB，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴∠HEF+∠GFE=180°，

即∠2+∠3+∠HEF=180°，

又∠4+∠5+∠HEF=180°，

∴∠1=∠5，

在△AEH與△MGF中，

，

∴△AEH≌△MGF（AAS），

∴FM=AH，

∵AH=2，

∴FM=2，是常數(shù)不變；

（3）①結(jié)合圖形可得，y=CGFM=×（6-x）×2=6-x，

當(dāng)點G與D重合時，x=0，y=6，可得y的最大值為6

當(dāng)點E與B重合時，EH=GH=，

在Rt△DHG中，DG=，

此時x=2，y=6-2，可得y的最小值為6-2，

∴6-2≤y≤6．

②如圖連接FH、EG交于點O，作FM⊥AD于M，GN⊥AB于N，FM交GN于J，交EG于K．

∵四邊形EFGH是菱形，

∴FH⊥EG，易知GN⊥FM，

∴∠FOK=∠GJK=90°，

∵∠FKO=∠GKJ，

∴∠OFK=∠JGK，

∵FM=NG，∠FMH=∠GNE=90°，

∴△FMH≌△GNE，

∴EG=FH，

∴四邊形EFGH是正方形，

∴∠EHG=90°，

∵∠EHA+∠GHD=90°，∠GHD+∠HGD=90°，

∴∠EHA≌△HGD，

∴DG=AH=2．

∴x=2時，點F恰好在正方形ABCD的邊上．