Question

4．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，P為BC的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，交AP于點(diǎn)F，PE⊥AP交AB于點(diǎn)E
（1）圖中與△AFC相似的三角形為△PBE；
（2）如圖1，當(dāng)BC：AC=2時(shí)，求PF：PE的值；
（3）如圖2，當(dāng)BC：AC=n時(shí)，猜想PF：PE的值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ACD=∠B，∠CAF=∠BPE，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）如圖1，過P作PQ⊥BC交AB于Q，根據(jù)已知條件推出△ACP是等腰直角三角形，得到∠CAF=∠APC=45°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠CAF=∠BPE=45°，∠AFC=∠BEP，求得∠EPQ=∠CPF=45°，∠CFP=∠PEQ，證得△PCF∽△PEQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{PF}{PE}=\frac{PQ}{PC}$，即可得到結(jié)論；
（3）如圖2，過P作PQ⊥BC交AB于Q，根據(jù)已知條件得到$\frac{PC}{PQ}$=n，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠QPE=∠CPF，推出△PCF∽△PEQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）圖中與△AFC相似的三角形為△PBE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，
同理∠CAF=∠BPE，
∴△ACF∽△PBE；
故答案為：△PBE；

（2）如圖1，過P作PQ⊥BC交AB于Q，
∵BC：AC=2，
∴BC=2AC，
∵P為BC的中點(diǎn)，
∴CP=BP=$\frac{1}{2}$BC，
∴AC=PC，
∴△ACP是等腰直角三角形，
∴∠CAF=∠APC=45°，
∵△ACF∽△PBE，
∴∠CAF=∠BPE=45°，∠AFC=∠BEP，
∴∠EPQ=∠CPF=45°，∠CFP=∠PEQ，
∴△PCF∽△PEQ，
∴$\frac{PF}{PE}=\frac{PQ}{PC}$，
∵PQ∥AC，
∴PQ=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$PC，
∴PF：PE=2；

（3）如圖2，過P作PQ⊥BC交AB于Q，
∴PQ∥AC，
∵BC：AC=n，
∴BC=nAC，
∵P為BC的中點(diǎn)，
∴PC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{n}{2}$AC，PQ=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{PC}{PQ}$=n，
∵∠BPE+∠QPE=∠BPE+∠CPF=90°，
∴∠QPE=∠CPF，
由（2）證得∠PFC=∠PEQ，
∴△PCF∽△PEQ，
∴$\frac{PF}{PE}=\frac{PC}{PQ}$=n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．