如圖,在△ABC中,內(nèi)角平分線BP和外角平分線CP相交于點(diǎn)P,根據(jù)下列條件求∠P的度數(shù).
(1)若∠ABC=50°,∠ACB=80°,則∠P=______,若∠ABC+∠ACB=110°,則∠P=______;
(2)若∠BAC=90°,則∠P=______;
(3)從以上的計算中,你能發(fā)現(xiàn)∠P與∠BAC的關(guān)系是______;
(4)證明第(3)題中你所猜想的結(jié)論.

(1)解:∵∠ACB=80°,
∴∠ACD=180°-80°=100°,
∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線,
∴∠PBC=∠ABC=×50°=25°,∠PCD=∠ACD=×100°=50°,
在△PCD中,∠PBC+∠P=∠PCD,
即25°+∠P=50°,
解得∠P=25°;
∵∠ABC+∠ACB=110°,
∴∠A=180°-110°=70°,
∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCD=∠ACD,
根據(jù)三角形的外角性質(zhì),∠ACD=∠A+∠ABC,
∠PCD=∠PBC+∠P,
∴∠A+∠ABC=2(∠PBC+∠P)=2∠PBC+2∠P,
∴∠A=2∠P,
∠P=∠A=×70°=35°;

(2)解:∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCD=∠ACD,
根據(jù)三角形的外角性質(zhì),∠ACD=∠A+∠ABC,
∠PCD=∠PBC+∠P,
∴∠BAC+∠ABC=2(∠PBC+∠P)=2∠PBC+2∠P,
∴∠BAC=2∠P,
∠P=∠BAC,
∵∠BAC=90°,
∴∠P=45°;

(3)由計算可知,∠P=∠A;

(4)證明:∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCD=∠ACD,
根據(jù)三角形的外角性質(zhì),∠ACD=∠A+∠ABC,
∠PCD=∠PBC+∠P,
∴∠BAC+∠ABC=2(∠PBC+∠P)=2∠PBC+2∠P,
∴∠BAC=2∠P,
∠P=∠BAC.
故答案為:(1)25°,35°;(2)45°;(3)∠P=∠A.
分析:(1)根據(jù)互為鄰補(bǔ)角的和等于180°求出∠ACD的度數(shù),再根據(jù)角平分線的定義求出∠PBC、∠PCD,然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可求出∠P的度數(shù),根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù),再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠PCD,整理即可得解;
(2)根據(jù)(1)的思路可以求出∠P=∠BAC;
(3)根據(jù)計算得出關(guān)系式即可;
(4)根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠ACD與∠PCD,再根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC=∠ABC,∠PCD=∠ACD,然后整理即可得證.
點(diǎn)評:本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì),規(guī)律性較強(qiáng),但難度不大,用兩種方法表示出∠PCD是解題的關(guān)鍵.
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75
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( 。
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是( 。

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16
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