Question

已知，一次函數(shù)y=

1-kx

k+1

（k是不為0的自然數(shù)，且是常數(shù)）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積為S_k（即k=1時(shí)，得S₁，k=2時(shí)，得S₂，┅）．試求S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₆的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：規(guī)律型

分析：求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)面積=

1

2

|x||y|可得出面積關(guān)于k的表達(dá)式，繼而能得出S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₆的值．

解答：解：由題意得，一次函數(shù)y=

1-kx

k+1

的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（

1

k

，0）、（0，

1

k+1

），
所圍成的圖形的面積為Sk=

1

2

•

1

k

1

k+1

=

1

2

•

1

k(k+1)

．
則S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₆
=

1

2

•

1

1×2

+

1

2

•

1

2×3

+

1

2

•

1

3×4

+…+

1

2

•

1

2006×2007

=

1

2

(

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

)
=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2006

-

1

2007

)
=

1

2

(1-

1

2007

)
=

1003

2007

．

點(diǎn)評：本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征與三角形的面積，有一定難度，關(guān)鍵是表示出S_k的表達(dá)式．