Question

如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點O又是另一個正方形A′B′C′D′的一個頂點．A′O與AB交于點E，C′O與BC交于點F．延長A′O交CD于點G，延長C′O交AD于點H．如果這兩個正方形的邊長相等，那么，試證明：
（1）四邊形OEBF、OFCG、OGDH、OHAE這四個四邊形的面積相等；
（2）正方形A′B′C′O繞點O無論怎樣旋轉(zhuǎn)，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的四分之一．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）在△OBF和△ODH中根據(jù)ASA定理得出△OBF≌△ODH，同理可得△OEB≌△OGD，△OCG≌△OAE，△OFC≌△OHA，△OBF≌△OCG，△OEB≌△OFC，由此可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）中四邊形OEBF、OFCG、OGDH、OHAE這四個四邊形的面積都相等即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：在△OBF和△ODH中，

∠OBF=∠ODH OB=OD ∠BOF=∠DOH

，
∴△OBF≌△ODH  （ASA）．
同理可證，△OEB≌△OGD，△OCG≌△OAE，△OFC≌△OHA．
在△OBF和△OCG中，
∵∠BOF+∠FOC=∠COG+∠FOC=90°，
∴∠BOF=∠COG，
又∵OB=OC，∠OBF=∠OCG=45°，
在△OBF與△OCG中，

∠BOF=∠COG OB=OC ∠OBF=∠OCG

，
∴△OBF≌△OCG（ASA）．
同理可證，△OEB≌△OFC．
∴△OBF≌△OCG≌△ODH≌△OAE，△OEB≌△OFC≌△OGD≌△OHA．
∴四邊形OEBF、OFCG、OGDH、OHAE這四個四邊形的面積都相等；

（2）證明：∵四邊形OEBF、OFCG、OGDH、OHAE這四個四邊形的面積都相等，
∴正方形A′B′C′O繞點O無論怎樣旋轉(zhuǎn)，兩個正方形重疊部分的面積，即四邊形OEBF的面積總等于正方形ABCD面積的四分之一．

點評：本題考查的是正方形的性質(zhì)，熟知正方形的四條邊都相等，四個內(nèi)角都是直角，對角線互相垂直平分是解答此題的關(guān)鍵．