Question

如圖，拋物線(xiàn)y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)P，與直線(xiàn)BC相交于點(diǎn)M，連接PB．已知x₁、x₂

恰是方程的兩根，且sin∠OBC＝.

1.求該拋物線(xiàn)的解析式；

2.拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)Q，使△QMB與△PMB的面積相等，若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由

3.在第一象限、對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)R，使△RPM與△RMB的面積相等，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.由已知，可求：OA＝1，OB＝3，OC＝3.

設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為y＝a（x＋1）（a－3）.      

∵拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C （0，3），

∴3＝a×1×（－3），

解得：a＝－1.

所以二次函數(shù)式為y=－x²＋2x＋3.…………………………（3分）

2.由y＝－x²＋2x＋3＝－（x－1）²＋4，

則頂點(diǎn)P（1，4）.共分兩種情況：

 

 

 

 

 

 

 

①由B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可知，直線(xiàn)BC解析式為y＝－x＋3.

設(shè)過(guò)點(diǎn)P與直線(xiàn)BC平行的直線(xiàn)為：y＝－x＋b，

將點(diǎn)P（1，4）代入，得y＝－x＋5.

則直線(xiàn)BC代入拋物線(xiàn)解析式是否有解，有則存在點(diǎn)Q，

－x²＋2x＋3＝－x＋5，

解得x＝1或x＝2.

代入直線(xiàn)則得點(diǎn)（1，4）或（2，3）.

已知點(diǎn)P（1，4），

所以點(diǎn)Q（2，3）.…………（6分）

②由對(duì)稱(chēng)軸及直線(xiàn)BC解析式可知M（1，2），PM＝2，

設(shè)過(guò)P′（1，0）且與BC平行的直線(xiàn)為y＝－x＋c，

將P′代入，得y＝－x＋1.

聯(lián)立，

解得或.

∴Q（2，3）或Q（，）或Q（，）.

         ………………………………………………（10分）

3.由題意求得直線(xiàn)BC代入x＝1，

則y＝2.

∴M（1，2）.由點(diǎn)M，P的坐標(biāo)可知：

點(diǎn)R存在，即過(guò)點(diǎn)M平行于x軸的直線(xiàn)，

則代入y＝2，x²－2x－1＝0，

解得x₁＝1－（在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，舍去），

x₂=，

即點(diǎn)R（，2）．…………………（13分）

【解析】（1）利用拋物線(xiàn)與兩軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線(xiàn)的解析式；

（2）根據(jù)三角形面積相等就是同底等高，分兩種情況討論；

（3）與（2）相同。