【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,△OAB是等邊三角形,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(40),點(diǎn)Ca,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn),其中a≠0,將△AOC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△ABD,連接CD

1)求證;△ACD是等邊三角形;

2)如圖2,當(dāng)0a4時(shí),△BCD周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)Cx軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在以B、CD為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)存在,a=2;(3)a=8

【解析】

1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理證明;

2)證明△OAC≌△BAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=OC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算即可;

3)分點(diǎn)Cx軸的負(fù)半軸上、點(diǎn)C在線段OB上、點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)三種情況,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算.

(1)證明:由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知,AC=AD,∠CAD=60°,

ACD是等邊三角形;

2)解:存在,a=2

理由如下:∵△OAB和△ACD都是等邊三角形,

AO=AB,AC=AD,∠OAB=CAD=60°

∴∠OAB-CAB=CAD-CAB,即∠OAC=BAD

在△OAC和△BAD中,

,

∴△OAC≌△BADSAS

BD=OC,

∴△BCD周長(zhǎng)=BC+BD+CD=BC+OC+CD=OB+CD,

當(dāng)CD最小時(shí),△BCD周長(zhǎng)最小,

ACD是等邊三角形,

CD=AC,

當(dāng)ACOB時(shí),即OC=2,AC最小,最小值為=2,

∴△BCD周長(zhǎng)的最小值為4+2,此時(shí)a=2;

3)解:當(dāng)點(diǎn)Cx軸的負(fù)半軸上時(shí),∠BDC=90°,

則∠ADB=30°

∵△OAC≌△BAD,

∴∠ACO=ADB=30°,

∴∠BCD=30°,

BD=BC,

OC=BC,

OC=4

a=-4;

當(dāng)點(diǎn)C在線段OB上時(shí),∠DBC=120°,

∴不存在以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,

a不存在;

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí),∠BCD=90°

則∠ACO=30°,

∵∠AOC=60°,

∴∠OAC=90°,又∠ACO=30°,

OC=2OA=8

a=8

練習(xí)冊(cè)系列答案
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①∠CEG=2∠DCB;②∠DFB= ∠CGE;③∠ADC=∠GCD;④CA平分∠BCG.其中正確的個(gè)數(shù)是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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1)試判斷點(diǎn)A(-1,a)是否是直線l伴侶點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由;

2)若點(diǎn)P2m5,8)是直線l伴侶點(diǎn),求m的取值范圍;

3)若點(diǎn)A(-1,a)、Bb,2a)、C(-a1)是平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn),將三角形ABC進(jìn)行平移,平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F.若點(diǎn)F剛好落在直線l上,F的縱坐標(biāo)為a+b,點(diǎn)E落在x軸上,且三角形MFD的面積為,試判斷點(diǎn)B是否是直線l伴侶點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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