【題目】如圖,△ABC中,點O是AC邊上的一個動點,過點O作直線MN∥BC,交∠ACB的平分線于點E,交∠ACB的外角平分線于點F.
(1)判斷OE與OF的大小關系?并說明理由;
(2)當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形?并說出你的理由;
(3)在(2)的條件下,當△ABC滿足什么條件時,四邊形AECF是正方形.直接寫出答案,不需說明理由。
【答案】(1)OE=OF,理由詳見解析;(2)當點O運動到AC的中點處,理由詳見解析;(3)∠ACB=90°時.
【解析】試題分析:(1)利用角平分線的性質得出,∠1=∠2,進而得出,∠3=∠2,即可得出OE與OF的大小關系;
(2)首先證得四邊形AECF是平行四邊形,進而得出∠ECF=90°,再利用矩形的判定得出即可;
(3)由(2)證明可知,當點O運動到AC的中點時,四邊形AECF是矩形,進而得出AC⊥MN,即可得出答案.
試題解析:(1)OE=OF,理由如下:
因為CE平分∠ACB,所以∠1=∠2,又因為MN∥BC,所以∠1=∠3,所以∠3=∠2,所以EO=CO,同理,FO=CO,所以OE=OF.
(2)當點O運動到AC的中點時,四邊形AECF是矩形,理由如下:
因為OE=OF,點O是AC的中點,所以四邊形AECF是平行四邊形,又因為CF平分∠BCA的外角,所以∠4=∠5,又因為∠1=∠2,所以∠1=∠2,∠2+∠4==90°,即∠ECF=90°,所以平行四邊形AECF是矩形.
(3)當△ABC是直角三角形時,即∠ACB=90°時,四邊形AECF是正方形,理由如下:
由(2)證明可知,當點O運動到AC的中點時,四邊形AECF是矩形,又因為∠ACB=90°,CE,CN分別是∠ACB與∠ACB的外角的平分線,所以∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°,所以AC⊥MN,所以四邊形AECF是正方形.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某校田徑運動會上,參加男子跳高的16名運動員成績如下表:
成績(m) | 1.45 | 1.50 | 1.55 | 1.60 | 1.65 | 1.70 |
人數 | 3 | 4 | 3 | 2 | 3 | 1 |
則這些運動員成績的中位數是( 。
A. 1.5B. 1.55C. 1.60D. 1.65
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】關于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情況是( 。
A. 沒有實數根 B. 只有一個實數根
C. 有兩個相等的實數根 D. 有兩個不相等的實數根
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為了抓住市文化藝術節(jié)的商機,某商店決定購進A,B兩種藝術節(jié)紀念品.若購進A種紀念品8件,B種紀念品3件,需要950元;若購進A種紀念品5件,
B種紀念品6件,需要800元.
(1)求購進A,B兩種紀念品每件各需多少元?
(2)若該商店決定購進這兩種紀念品共100件,考慮市場需求和資金周轉,用于購買這100件紀念品的資金不少于7500元,但不超過7650元,那么該商店共有幾種進貨方案?
(3)若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元,每件B種紀念品可獲利潤30元,在(2)問的各種進貨方案中,哪一種方案獲利最大?最大利潤是多少元?
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