Question

如圖，O是圓心，AB是半圓的直徑，CD⊥AB，DE⊥OC，如果BD、CD的長(zhǎng)都是有理數(shù)，那么圖中長(zhǎng)為有理數(shù)的線(xiàn)段還有

 

條．

Answer 1

分析：連接AC，BC，證△ADC∽△CDB，得到比例式，求出AD、OA、OB、OC、OD都是有理數(shù)，證△CDE∽△COD，得到比例式，求出CE、OE是有理數(shù)，根據(jù)三角形的面積公式求出DE是有理數(shù)，即可得到答案．

解答：解：如右圖，連接AC，BC，
∵AB是圓的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A=∠CDA=∠CDB=90°，∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴

CD

AD

=

BD

CD

，
CD²=AD•BD，
∵BD、CD的長(zhǎng)都是有理數(shù)，
∴AD是有理數(shù)，
∵AB=AD+BD，
∴AB是有理數(shù)，
∴OA、OB、OC、OD都是有理數(shù)，
∵CD⊥OD，DE⊥OC，
∴∠CDO=∠CED=90°，
∵∠DCE=∠DCO，
∴△CDE∽△COD，
∴

CD

CE

=

CO

CD

，
CD²=CE•OC，
∵CD、OC是有理數(shù)，
∴CE是有理數(shù)，
∴OE是有理數(shù)，
根據(jù)三角形的面積公式得：

1

2

CD×OD=

1

2

OC×DE，
∴DE是有理數(shù)．
綜上可知：AD、AB、OA、OB、OC、OD、DE、OE、CE的長(zhǎng)為有理數(shù)，
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)圓周角定理，三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．