Question

如圖，拋物線y=ax²+2ax+b與直線y=x+1交于A、C兩點，與y軸交于B，AB∥x軸，且S_△ABC=3，D、E是直線y=x+1與坐標軸的交點，
（1）求拋物線的解析式；
（2）在坐標軸上找出所有的點F，使△CEF與△ABD相似，直接寫出它的坐標；
（3）P為x軸上一點，Q為此拋物線上一點，是否存在P，使得以A、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵對稱軸為直線x=-1，
∴由對稱性可得AB=2，
則BD=AB=2，
又∵D（0，1），
∴B（0，-1），A（-2，-1），
由S_△ABC=3，得AB邊上的高線長為3，
∴C（1，2），
把B（0，-1），C（1，2）代入拋物線得：，
解得：a=1，b=-1，
∴拋物線的解析式為 y=x²+2x-1．

（2）符合條件的點有2個：如圖①CF⊥x軸于F，則此時△CEF和△ABD相似，
∵C（1，2），
∴F（1，0），
②作EC⊥CF′，交x軸于F′，此時△CEF′和△ABD相似，
∵OD=OE=1，
EF=FF′=1+1=2，
∴F（3，0）；

（3）設P（a，0），
若AC為邊，則Q（a+3，3），
∴（a+3）²+2（a+3）-1=3，
∴a₁=-4+，a₂=-4-
∴P（-4+，0）或（-4-，0），
若AC為對角線，則Q（-1-a，1），
∴（-1-a）²+2（-1-a）-1=1，
∴a₁=，a₂=-，
∴P（，0）或（-，0）．
分析：（1）利用已知條件求出B，C兩點的坐標，再把其橫縱坐標分別代入拋物線y=ax²+2ax+b求出a和b的值即可；
（2）如圖①CF⊥x軸于F，則此時△CEF和△ABD相似，②作EC⊥CF′，交x軸于F′，此時△CEF′和△ABD相似，分別寫出符合題意的F的坐標即可；
（3）設P（a，0），若AC為邊，則Q（a+3，3），若AC為對角線，則Q（-1-a，1），再根據(jù)已知條件求出滿足題意a的值，即可求出P的坐標．
點評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、關于x軸對稱的點的坐標特征、函數(shù)圖象上的點的坐標意義以及平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識．（3）題中，一定要把所有的情況都考慮到，做到不漏解．