Question

已知：如圖，在?EFGH中，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-2，-1），∠EFG=45°．
（1）求點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（2）拋物線C₁經(jīng)過點(diǎn)E、G、H，現(xiàn)將C₁向左平移使之經(jīng)過點(diǎn)F，得到拋物線C₂，求拋物線C₂的解析式；
（3）若拋物線C₂與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P在拋物線C₂的對稱軸上運(yùn)動(dòng)．請問：是否存在以AG為腰的等腰三角形AGP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)樗倪呅蜤FGH是平行四邊形，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-2，-1），∠EFG=45°，所以可得點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線C₁解析式為y₁=ax²+bx+c，把E、G、H三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線C₁解析式，題意得，點(diǎn)F為頂點(diǎn)，所以可求出拋物線C₂的解析式；
（3）先求出AG=4，再分情況對問題進(jìn)行討論，情況1：AP=AG=4；情況2：PG=AG=4，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵在?ABCD中
∴EH=FG=2，G（0，-1）即OG=1
∵∠EFG=45°
∴在Rt△HOG中，∠EHG=45°
可得OH=1
∴H（1，0）

（2）∵OE=EH-OH=1
∴E（-1，0），
設(shè)拋物線C₁解析式為y₁=ax²+bx+c
∴代入E、G、H三點(diǎn)，
∴a=1，b=0，c=-1
∴y₁=x²-1
依題意得，點(diǎn)F為頂點(diǎn)，
∴過F點(diǎn)的拋物線C₂解析式是y₂=（x+2）²-1

（3）∵拋物線C₂與y軸交于點(diǎn)A
∴A（0，3），∴AG=4
情況1：AP=AG=4
過點(diǎn)A作AB⊥對稱軸于B
∴AB=2
在Rt△PAB中，BP=
∴P₁（-2，3+）或P₂（-2，3-）
情況2：PG=AG=4
同理可得：P₃（-2，-1+）或P₄（-2，-1-）
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3+）
或（-2，3-）或（-2，-1+）或（-2，-1-）．
點(diǎn)評：主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、直線解析式、拋物線解析式的求法，涉及解直角三角形的知識和平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．