Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AD∥x軸，AD=10，原點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，4），反比例函數(shù)y=（k≠0）在第一象限的圖象過四邊形ABCD的頂點(diǎn)D．
（1）求直線AC和反比例函數(shù)的解析式；
（2）平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)B是否在反比例函數(shù)的圖象上？為什么？
（3）P、Q兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)圖象的兩支上，且AQCP是菱形，求P、Q的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵直線AC過原點(diǎn)，
∴設(shè)直線AC的解析式為：y=ax，
∵直線AC過點(diǎn)A（-4，4），
∴-4a=4，
解得：a=-1，
故直線AC的解析式為：y=-x；
∵在平行四邊形ABCD中，AD∥x軸，AD=10，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，4），
∴AE=4，DE=AD-AE=10-4=6，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，4），
∴4=，
解得：k=24，
故反比例函數(shù)的解析式為：y=；

（2）平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，且原點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，
∴B與D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，-4），
∵當(dāng)x-6時(shí)，y==-4，
∴平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上；

（3）∵四邊形AQCP是菱形，
∴AC⊥PQ，
∵直線AC的解析式為y=-x，
∴直線PQ的解析式為：y=x，
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，a）且a＞0，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-a，-a），
∵P、Q兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)圖象的兩支上，
∴a=，
解得：a=2，
故P的坐標(biāo)為：（2，2），Q的坐標(biāo)為（-2，-2）．
分析：（1）由頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，4），直線過原點(diǎn)O，利用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式；又由在平行四邊形ABCD中，AD∥x軸，AD=10，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，繼而求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）由平行四邊形的中心對(duì)稱性，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可判定平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)B是否在反比例函數(shù)的圖象上；
（3）由四邊形AQCP是菱形，可得AC⊥PQ，即可求得直線PQ的解析式，繼而求得P、Q的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．