Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)D、M分別在邊AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點(diǎn)D和M，反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，與BC的交點(diǎn)為N．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P在直線DM上，且使△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由正方形OABC的頂點(diǎn)C坐標(biāo)，確定出邊長(zhǎng)，及四個(gè)角為直角，根據(jù)AD=2DB，求出AD的長(zhǎng)，確定出D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出m的值，再由AM=2MO，確定出MO的長(zhǎng)，即M坐標(biāo)，將M與D坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）把y=3代入反比例解析式求出x的值，確定出N坐標(biāo)，得到NC的長(zhǎng)，設(shè)P（x，y），根據(jù)△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，求出y的值，進(jìn)而得到x的值，確定出P坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵正方形OABC的頂點(diǎn)C（0，3），
∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，
∵AD=2DB，
∴AD=$\frac{2}{3}$AB=2，
∴D（-3，2），
把D坐標(biāo)代入y=$\frac{m}{x}$得：m=-6，
∴反比例解析式為y=-$\frac{6}{x}$，
∵AM=2MO，
∴MO=$\frac{1}{3}$OA=1，即M（-1，0），
把M與D坐標(biāo)代入y=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{-3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=b=-1，
則直線DM解析式為y=-x-1；
（2）把y=3代入y=-$\frac{6}{x}$得：x=-2，
∴N（-2，3），即NC=2，
設(shè)P（x，y），
∵△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，
∴$\frac{1}{2}$（OM+NC）•OC=$\frac{1}{2}$OM|y|，即|y|=9，
解得：y=±9，
當(dāng)y=9時(shí)，x=-10，當(dāng)y=-9時(shí)，x=8，
則P坐標(biāo)為（-10，9）或（8，-9）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及三角形面積計(jì)算，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．