Question

10．如圖，∠ABM為直角，點(diǎn)C為線段BA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是射線BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連結(jié)AD，作BE⊥AD，垂足為E，連結(jié)CE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求證：BF=FD；
（2）若∠A=45°，試判斷四邊形ACFE的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)∠A在什么范圍取值時(shí)，線段DE上存在點(diǎn)G，滿足條件DG=$\frac{1}{4}$DA．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=BC．從而得到∠CBE=∠CEB，再根據(jù)等角的余角相等證明∠FBE=∠FEB，得到BF=EF．根據(jù)等角的余角相等以及等角對(duì)等邊再進(jìn)一步證明EF=DF，最后得到BF=DF．
（2）根據(jù)中位線定理得到AE∥CF由∠A=45°推出EF∥AC，從而得到結(jié)論．
（3）從若要滿足的結(jié)論出發(fā)，結(jié)合上述結(jié)論進(jìn)行分析，先探求∠D的取值范圍，再進(jìn)一步得到∠A的取值范圍．

解答 （1）證明：如圖1，在Rt△AEB中，
∵AC=BC，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB，
∴CB=CE，
∴∠CEB=∠CBE．
∵∠CEF=∠CBF=90°，
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF．
∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠FED=∠EDF．
∴BF=FD．
（2）解：由（1）BF=FD，而B(niǎo)C=CA，
∴CF∥AD，即AE∥CF．
∵∠A=45°，∠AEB=90，
∴∠ABE=90°-∠A=45°=∠A，
∴EA=EB，
∵AC=CB，
∴EC⊥AB，
∵EF⊥EC，
∴EF∥AB，
∵AE∥CF，
∴四邊形ACFE是平行四邊形．
（3）解：如圖2，作GH⊥BD，垂足為H，則GH∥AB．
∵DG=$\frac{1}{4}$DA，
∴DH=$\frac{1}{4}$DB．
又F為BD中點(diǎn)，
∴H為DF的中點(diǎn)．
∴GH為DF的中垂線．
∴∠GDF=∠GFD．
∵點(diǎn)G在ED上，
∴∠EFD≥∠GFD．
∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°，
∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度．
∴3∠EDF≤180度．
∴∠EDF≤60度．
又∠A+∠EDF=90°，
∴30°≤∠A＜90°．
∴當(dāng)30°≤∠A＜90°時(shí)，
DE上存在點(diǎn)G，滿足條件DG=$\frac{1}{4}$DA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)、平行四邊形判定等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，第三問(wèn)比較難不容易找到不等關(guān)系．