Question

20．已知x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²-x+t=0的兩個非負(fù)實(shí)數(shù)根，設(shè)y=${x}_{1}^{4}$+${x}_{2}^{4}$的最大值為M，最小值為m．則M-m=$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)方程有兩個非負(fù)實(shí)數(shù)根得到△≥0，x₁•x₂=t≥0，求出0≤t≤$\frac{1}{4}$，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，把條件y=${x}_{1}^{4}$+${x}_{2}^{4}$轉(zhuǎn)化成y與t的函數(shù)關(guān)系式：y=2（t-1）²-1，求出y的最小值，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合t的取值范圍0≤t≤$\frac{1}{4}$，求出y的最大值，從而代入M-m中得到M-m=$\frac{7}{8}$．

解答 解：∵x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²-x+t=0的兩個非負(fù)實(shí)數(shù)根
∴△=1-4t≥0，即t≤$\frac{1}{4}$，
 x₁+x₂=1，x₁•x₂=t≥0，
∴0≤t≤$\frac{1}{4}$，
又∵y=${x}_{1}^{4}$+${x}_{2}^{4}$=（${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$）²-2${x}_{1}^{2}$${x}_{2}^{2}$=[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]²-2${x}_{1}^{2}$${x}_{2}^{2}$，
∴y=（1-2t）²-2t²
=2t²-4t+1
=2（t-1）²-1，（0≤t≤$\frac{1}{4}$）
當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時，y_最小=m=$\frac{1}{8}$，
當(dāng)t=0時，y_最大=M=1，
∴M-m=1-$\frac{1}{8}$=$\frac{7}{8}$．
故答案為：$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用根的判別式△=b²-4ac求出字母系數(shù)的取值范圍，根與系數(shù)的關(guān)系的進(jìn)一步運(yùn)用以及二次函數(shù)的最值問題．本題中把y=${x}_{1}^{4}$+${x}_{2}^{4}$轉(zhuǎn)化成y關(guān)于t的二次函數(shù)：y=2（t-1）²-1，且該函數(shù)有最小值-1，最大值的求法根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合t的取值范圍來求是解題的關(guān)鍵．