Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=2，OC=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）作Rt△OBC的高OD，延長(zhǎng)OD與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）①在x軸上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P，使四邊形OBEP是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
②在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在上點(diǎn)Q，使得△BEQ的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
∵OC=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
∵把（-2，0），（0，3）代入y=-x²+bx+c，得解得
∴拋物線解析式為y=-x²+x+3；

（2）把y=0代入y=-x²+x+3，
解得x₁=-2，x₂=3
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴OB=OC=3
∵OD⊥BC，
∴OD平分∠BOC
∴OE所在的直線為y=x
解方程組得，，
∵點(diǎn)E在第一象限內(nèi)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2）．

（3）①存在，如圖1，過點(diǎn)E作x軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)P，連接BE、PO，
把y=2代入y=-x²+x+3，
解得x₁=-1，x₂=2
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，2），
∵PE∥OB，且PE=OB=3，
∴四邊形OBEP是平行四邊形，
∴在x軸上方的拋物線上，存在一點(diǎn)P（-1，2），使得四邊形OBEP是平行四邊形；

②存在，如圖2，設(shè)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接QA、QB、QE、BE，
∵QA=QB，
∴△BEQ的周長(zhǎng)等于BE+QA+QE，
又∵BE的長(zhǎng)是定值
∴A、Q、E在同一直線上時(shí)，△BEQ的周長(zhǎng)最小，
由A（-2，0）、E（2，2）可得直線AE的解析式為y=x+1，
∵拋物線的對(duì)稱軸是x=
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）
∴在拋物線的對(duì)稱軸上，存在點(diǎn)Q（，），使得△BEQ的周長(zhǎng)最�。�
分析：（1）先根據(jù)已知條件得出A點(diǎn)及C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出此拋物線的解析式；
（2）y=0代入（1）中所求二次函數(shù)的解析式即可的出此函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由OD平分∠BOC可知OE所在的直線為y=x，再解此直線與拋物線組成的方程組即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）①過點(diǎn)E作x軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)P，連接BE、PO，把y=2代入二次函數(shù)解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出四邊形OBEP是平行四邊形；
②設(shè)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接QA、QB、QE、BE，由QA=QB可知△BEQ的周長(zhǎng)等于BE+QA+QE，由A、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得出直線AE的解析式，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸是x=可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定定理，難度較大．