Question

9．如圖1，點A是線段BC上一點，△ABD和△ACE都是等邊三角形．
（1）連接BE，CD，求證：BE=CD；
（2）如圖2，作DP∥BC交EA于D′，交EC于P．當(dāng)線段AB、AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，△BDD′≌△CPD′？并給與證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“邊角邊”證明△BAE和△DAC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）當(dāng)AC=2AB時，△BDD′與△CPD′全等，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到四邊形ABDD′是菱形，根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出∠PCD′=∠ACD′=30°，從而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角邊角”證明△BDD′與△CPD′全等．

解答 （1）證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形．
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE=CD；

（2）解：當(dāng)AC=2AB時，△BDD′與△CPD′全等．
∵∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAE=180°-60°×2=60°，
∵DP∥BC，
∴∠D′DA=∠DAB=60°，
∴△ADD′是等邊三角形，
∴AB=BD=DD′=AD′，
∴四邊形ABDD′是菱形，
∴∠ABD′=∠DBD′=$\frac{1}{2}$∠ABD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵△ACE是等邊三角形，
∴AC=AE，∠ACE=60°，
∵AC=2AB，
∴AE=2AD′，
∴∠PCD′=∠ACD′=$\frac{1}{2}$∠ACE=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
又∵DP∥BC，
∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°，
在△BDD′與△CPD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBD′=∠PCD′}\\{BD′=CD′}\\{∠BD′D=∠PD′C}\end{array}\right.$，
∴△BDD′≌△CPD′（ASA）．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．