Question

在△ABC中，點(diǎn)D在直線AB上，在直線BC上取一點(diǎn)E，連接AE，DE，使得 AE=DE，DE交AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交直線BC于點(diǎn)F，∠EAC=∠DEF．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，D為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1所示．
①求證：∠EGC=∠AEC；
②若DF=3，求BE的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示，若CE=10，5EG=2DE，求AG的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）如圖1，①易證△ACE≌△EFD，則有∠AEC=∠EDF，再由DF∥AC可得∠EGC=∠EDF，即可得到∠EGC=∠AEC；②由DF∥AC可得△BDF∽△BAC，結(jié)合D為AB的中點(diǎn)，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可得BF=CF，AC=2DF=6，由△ACE≌△EFD可得AC=EF=6，CE=FD=3，就可得到FC、BF的值，從而可求出BE的值；
（2）如圖2，易證△ACE≌△EFD，則有CE=FD=10，AC=EF．由DF∥AC可得△DEF∽△GEC，結(jié)合5EG=2DE，CE=FD=10，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可得EF=25，GC=4，就可得到AG=AC-GC=EF-GC=25-4=21．

解答：解：（1）如圖1，
①證明：∵DF∥AC，
∴∠DFE=∠ACE．
在△ACE和△EFD中，

∠EAC=∠DEF ∠ACE=∠EFD AE=ED

，
∴△ACE≌△EFD（AAS），
∴∠AEC=∠EDF．
∵DF∥AC，
∴∠EGC=∠EDF，
∴∠EGC=∠AEC；
②∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴

BF

BC

=

DF

AC

=

BD

BA

．
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴

BD

BA

=

1

2

，
∴BF=

1

2

BC，DF=

1

2

AC．
∴BF=CF，AC=2DF=6，
∵△ACE≌△EFD，
∴AC=EF=6，CE=FD=3．
∴BF=FC=EF-CE=3，
∴BE=9；

（2）∵DF∥AC，
∴∠ACE=∠EFD．
在△ACE和△EFD中，

∠EAC=∠DEF ∠ACE=∠EFD AE=ED

，
∴△ACE≌△EFD（AAS），
∴CE=FD=10，AC=EF．
∵DF∥AC，
∴△DEF∽△GEC，
∴

EF

EC

=

DF

GC

=

DE

GE

．
∵5EG=2DE，CE=FD=10，
∴EF=25，GC=4，
∴AG=AC-GC=EF-GC=25-4=21．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證到△ACE≌△EFD是解決本題的關(guān)鍵．