Question

20．Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，如圖1，點(diǎn)P從C出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R是射線PB上一點(diǎn)，PR=3CP，過點(diǎn)R作QR⊥BC，且QR=aCP，連接PQ，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)CP=x，△ABC與△PQR重合部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0＜x≤$\frac{3}{7}$，$\frac{3}{7}$＜x≤m，m＜x≤n時(shí)，函數(shù)的解析式不同）．
（1）a的值為4；
（2）求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圖2可知當(dāng)x=$\frac{3}{7}$時(shí)S=$\frac{54}{49}$，且此時(shí)Q點(diǎn)在線段AB上，利用三角形面積公式即可求出a的值；
（2）由Q點(diǎn)和R點(diǎn)的位置，可將整個(gè)移動(dòng)過程分成三部分，借用三角形相似，找個(gè)各邊的關(guān)系，分割圖形，既能找出S和x之間的關(guān)系式．

解答 解：（1）由圖2可知，當(dāng)x=$\frac{3}{7}$時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上，且此時(shí)的S=$\frac{54}{49}$，
PR=3CP=$\frac{9}{7}$，QR=aCP=$\frac{3}{7}$a，
∵QR⊥BC，
∴S=$\frac{1}{2}$PR•QR=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{7}$×$\frac{3}{7}$a=$\frac{54}{49}$，即27a=108，
解得a=4．
故答案為4．
（2）當(dāng)x=$\frac{3}{7}$時(shí)，Q點(diǎn)在線段AB上，如圖3，

∵AC⊥BC，QR⊥BC，
∴AC∥QR，
∴△ABC∽△QBR，
∴$\frac{AC}{QR}$=$\frac{BC}{BR}$．
QR=4CP=$\frac{12}{7}$，PR=3CP=$\frac{9}{7}$，BR=BC-CP-PR=$\frac{16}{7}$，
AC=$\frac{BC}{BR}$•QR=$\frac{4}{\frac{16}{7}}$•$\frac{12}{7}$=3．
①當(dāng)點(diǎn)Q在△ACB內(nèi)時(shí)，即0＜x≤$\frac{3}{7}$時(shí)，如圖1，
PR=3x，QR=4x，
S=$\frac{1}{2}$PR•QR=6x²．
②當(dāng)點(diǎn)Q在△ACB外且R點(diǎn)在線段CB上時(shí)，如圖4，

此時(shí)x＞$\frac{3}{7}$，且CR≤BC，
∵CR=CP+PR=4x，
∴$\frac{3}{7}$＜x≤1．
∵$\frac{PR}{QR}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴△PQR∽△ABC，
∴∠Q=∠B，
∵∠DEQ=∠REB（對(duì)頂角），
∴△DEQ∽△REB．
在Rt△ACB中，由勾股定理可知AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵AC∥QR，
∴△EBR∽△ABC，
∴$\frac{RE}{AC}$=$\frac{RB}{BC}$，
RB=BC-CP-PR=4-4x，AC=3，BC=4，
∴RE=3-3x．
QE=QR-RE=4x-（3-3x）=7x-3．
∵△DEQ∽△REB，△EBR∽△ABC，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴DE=$\frac{3}{5}$QE，QD=$\frac{4}{5}$QE，QD⊥DE．
S=$\frac{1}{2}$PR•QR-$\frac{1}{2}$QD•DE=-$\frac{144}{25}$x²+$\frac{252}{25}$x-$\frac{54}{25}$．
③當(dāng)點(diǎn)R在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖5，

此時(shí)CR=4x＞BC=4，得x＞1；CP=x≤BC=4．
即1＜x≤4．
∵△ABC∽△PQR，
∴∠QPR=∠A，
∵∠PBM=∠ABC，
∴△PBM∽△ABC，
∴PM=$\frac{3}{5}$PB，MB=$\frac{4}{5}$PB．
∵PB=BC-CP=4-x，
∴S=$\frac{1}{2}$PM•MB=$\frac{6}{25}$（4-x）²=$\frac{6}{25}$x²-$\frac{48}{25}$x+$\frac{96}{25}$．
綜合①②③可得：S=$\left\{\begin{array}{l}{6{x}^{2}（0＜x≤\frac{3}{4}）}\\{-\frac{144}{25}{x}^{2}+\frac{252}{25}x-\frac{54}{25}（\frac{3}{7}＜x≤1）}\\{\frac{6}{25}{x}^{2}-\frac{48}{25}x+\frac{96}{25}（1＜x≤4）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是：（1）由圖2找出S的面積，套入三角形面積公式；（2）畫出圖形，結(jié)合三角形相似，找到邊角關(guān)系，分割圖形即可．