Question

5．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，M為AD中點(diǎn)，連CM交BD于點(diǎn)N，ON=1，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD為平行四邊形，得到對(duì)邊平行且相等，且對(duì)角線互相平分，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等，進(jìn)而確定出三角形MND與三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，設(shè)OB=OD=x，表示出BN與DN，求出x的值，即可確定出BD的長(zhǎng)．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴MD：CB=DN：BN，
∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，
∴MD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，即$\frac{MD}{CB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DN}{BN}=\frac{1}{2}$，即BN=2DN，
設(shè)OB=OD=x，則有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，
∴x+1=2（x-1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的各種性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．