Question

已知拋物線y=x²-mx+m-2．
（1）求證：此拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）若m是整數(shù)，拋物線y=x²-mx+m-2與x軸交于整數(shù)點(diǎn)，求m的值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為A，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)交點(diǎn)為B．若m為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且MA=MB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）證明：令y=0，則x²-mx+m-2=0．
因?yàn)椤?m²-4m+8=（m-2）²+4＞0，（1分）
所以此拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．（2分）

（2）因?yàn)殛P(guān)于x的方程x²-mx+m-2=0的根為x=

m± (-m)2-4(m-2)

2

=

m± (m-2)2+4

2

，
由m為整數(shù)，當(dāng)（m-2）²+4為完全平方數(shù)時(shí)，此拋物線與x軸才有可能交于整數(shù)點(diǎn)．
設(shè)（m-2）²+4=n²（其中n為整數(shù)），（3分）
則[n+（m-2）][n-（m-2）]=4
因?yàn)閚+（m-2）與n-（m-2）的奇偶性相同，
所以

n+m-2=2 n-m+2=2

或

n+m-2=-2 n-m+2=-2

解得m=2．
經(jīng)過檢驗(yàn)，當(dāng)m=2時(shí)，方程x²-mx+m-2=0有整數(shù)根．
所以m=2．（5分）

（3）當(dāng)m=2時(shí)，
此二次函數(shù)解析式為y=x²-2x=（x-1）²-1，
則頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）．
拋物線與x軸的交點(diǎn)為O（0，0）、B（2，0）．
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M₁，則M₁（1，0）．
在直角三角形AM₁O中，由勾股定理，得AO=

2

．
由拋物線的對稱性可得，AB=AO=

2

．
又因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >(

2

)2+(

2

)2=22，即OA²+AB²=OB²．
所以△ABO為等腰直角三角形．（6分）
則M₁A=M₁B．
所以M₁（1，0）為所求的點(diǎn)．（7分）
若滿足條件的點(diǎn)M₂在y軸上時(shí)，
設(shè)M₂坐標(biāo)為（0，y），
過A作AN⊥y軸于N，連接AM₂、BM₂，則M₂A=M₂B．
由勾股定理，
即M₂A²=M₂N²+AN²；M₂B²=M₂O²+OB²，
即（y+1）²+1²=y²+2²．
解得y=1．
所以M₂（0，1）為所求的點(diǎn)．（8分）
綜上所述，滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）或（0，1）．