Question

20、觀察下列運算并填空：
1×2×3×4+1=25=5²；
2×3×4×5+1=121=11²：
3×4×5×6+1=361=19²；…
根據(jù)以上結(jié)果，猜想并研究：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=

（n²+5n+5）²

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題中的一系列等式，把5的平方，11的平方以及19的平方變形后，歸納猜想得到所求式子的化簡結(jié)果，然后進(jìn)行證明，方法是利用多項式的乘法法則把等式的左邊化簡，合并后，把平方項的系數(shù)拆為10+25，然后利用完全平方公式化簡后，即可得到與等式的右邊相等．

解答：解：由1×2×3×4+1=25=5²=（0²+5×0+5）²；
2×3×4×5+1=121=11²=（1²+5×1+5）²；
3×4×5×6+1=361=19²=（2²+5×2+5）²，…
觀察發(fā)現(xiàn)：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=（n²+5n+5）²．
證明：等式左邊=（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1
=（n²+3n+2）（n²+7n+12）+1
=n⁴+7n³+12n²+3n³+21n²+36n+2n²+14n+25
=n⁴+10n³+35n²+50n+25
=n⁴+2n²（5n+5）+（5n+5）²
=（n²+5n+5）²=等式右邊．
故答案為：（n²+5n+5）²

點評：此題考查學(xué)生根據(jù)已有的等式歸納總結(jié)，得出一般性規(guī)律的能力，是一道中檔題．