【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,﹣1),該拋物線與BE交于另一點(diǎn)F,連接BC.

(1)求該拋物線的解析式,并用配方法把解析式化為y=a(x﹣h)2+k的形式;

(2)若點(diǎn)H(1,y)在BC上,連接FH,求△FHB的面積;

(3)一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動(dòng),連接OM,BM,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0),在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)t為何值時(shí),∠OMB=90°?

(4)在x軸上方的拋物線上,是否存在點(diǎn)P,使得∠PBF被BA平分?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y=﹣(x﹣2)2+(2) (3)t=;(4)在x軸上方的拋物線上,存在點(diǎn)P,使得∠PBF被BA平分,P(,

【解析】試題分析:(1)A、B的坐標(biāo)代入yax2bx﹣2中,得到關(guān)于a、b的二元一次方程組,求出a、b的值即可得出解析式,然后利用配方法得出頂點(diǎn)式即可;

(2)如圖1中,先求出點(diǎn)F坐標(biāo),根據(jù)SFHBGH×|xGxF|+GH×|xBxG|計(jì)算即可;

(3)如圖2中,設(shè)M(2,m),(m>),因?yàn)?/span>OM2m2+4,BM2m2+1,OB2=9,OMB=90°,根據(jù)OM2BM2OB2,可得m2+4+m2+1=9,解方程即可解決問題;

(4)存在點(diǎn)P,使∠PBFBA平分,在y軸上取一點(diǎn)N(0,1),求出直線BN的解析式為yx+1,利用方程組即可求出點(diǎn)P坐標(biāo).

試題解析:

1)解:∵拋物線yax2bx﹣2a≠0)與x軸交于A1,0)、B3,0)兩點(diǎn),

∴拋物線解析式為yx2x2x22 ;

2)解:如圖1,

過點(diǎn)AAHy軸交BCH,BEG

由(1)有,C0﹣2),

B0,3),

∴直線BC解析式為yx2

H1,y)在直線BC上,

y,

H1, ),

B30),E0﹣1),

∴直線BE解析式為yx1,

G1 ),

GH,

∵直線BEyx1與拋物線yx2x2相較于FB,

F,),

SFHBGH×|xGxF|GH×|xBxG|

GH×|xBxF|

××3

3)解:如圖2,

由(1)有yx2x2

D為拋物線的頂點(diǎn),

D2 ),

∵一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動(dòng),

∴設(shè)M2,m),(m),

OM2m24,BM2m21,AB29

∵∠OMB90°,

OM2BM2AB2 ,

m24m219,

mm(舍),

M0, ),

MD,

∵一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動(dòng),

t;

4)解:存在點(diǎn)P,使∠PBFBA平分,

如圖3,

∴∠PBOEBO,

E0,﹣1),

∴在y軸上取一點(diǎn)N0,1),

B3,0),

∴直線BN的解析式為yx1,

∵點(diǎn)P在拋物線yx2x2②上,

聯(lián)立①②得, (舍),

P, ),

即:在x軸上方的拋物線上,存在點(diǎn)P,使得∠PBFBA平分,P, ).

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