Question

（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為E，試探究線段BE和CD之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出你的理由．
（2）如圖2，把條件改為：“在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC上，∠EDB=

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∠C，BE⊥ED，DE與AB相交于F點(diǎn)，則線段BE和FD之間的數(shù)量關(guān)系如何？并證明你的結(jié)論．”

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；證明△ADC≌△AFB，得到DC=BF；證明EF=BE，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖，作輔助線；△HFD≌△HGB，得到DF=BG；證明△EGD≌△EBD，得到BE=GE，即可解決問(wèn)題．

解答：解：CD=2BE；理由如下：如圖1，∵∠BAC=90°，
∠E=90°，
∴∠FED+∠FAD=180°，
∴A、F、E、D四點(diǎn)共圓，
∴∠ADC=∠F；在△ADC與△AFB中，

∠DAC=∠FAB ∠ADC=∠F AC=AB

，
∴△ADC≌△AFB（AAS），
∴DC=BF；
在△EFC與△EBC中，

∠FEC=∠BEC EC=EC ∠FCE=∠BCE

，
∴△EFC≌△EBC（ASA），
∴EF=BE，
∴CD=2BE．
（2）DF=2BE．理由如下：
如圖，作DG∥AC，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；
則∠BDG=∠C；
∵∠EDB=

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∠C，
∴DE平分∠BDG；
∵DG∥AC，
∴∠BHD=∠A=90°，
而∠HBD=45°，故∠HDB=45°，
∴BH=DH；
∵∠GEF+∠GHF=180°，
∴G、E、F、H四點(diǎn)共圓，
∴∠HFD=∠G；在△HFD與△HGB中，

∠FHD=∠GHB ∠HFD=∠G DH=BH

，
∴△HFD≌△HGB（AAS），
∴DF=BG；
在△EGD與△EBD中，

∠GED=∠BED DE=DE ∠GDE=∠BDE

，
∴△EGD≌△EBD（ASA），
∴EG=BE，
∴DF=2BE

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．