Question

如圖，已知四邊形ABCD、AEFG均為正方形，∠BAG=α（0°＜α＜180°）．
（1）求證：BE=DG，且BE⊥DG；
（2）設(shè)正方形ABCD、AEFG的邊長分別是3和2，線段BD、DE、EG、GB所圍成封閉圖形的面積為S．當(dāng)α變化時(shí)，指出S的最大值及相應(yīng)的α值．（直接寫出結(jié)果，不必說明理由）

Answer 1

（1）證明：
證法一：∵四邊形ABCD，AEFG均為正方形，
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，
∴將AD、AG分別繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，它們恰好分別與AB、AE重合．
即點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)G與點(diǎn)E重合．
∴DG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BE重合，
∴BE=DG，且BE⊥DG．
證法二：∵四邊形ABCD、AEFG均為正方形，
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，
∴∠DAB+α=∠GAE+α，
∴∠DAG=∠BAE，
①當(dāng)α≠90°時(shí)，由前知△DAG≌△BAE（SAS），
∴BE=DG，
∴∠ADG=∠ABE，
設(shè)直線DG分別與直線BA、BE交于點(diǎn)M、N，
又∵∠AMD=∠BMN，∠ADG+∠AMD=90°，
∴∠ABE+∠BMN=90°，
∴∠BND=90°，
∴BE⊥DG，
②當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別在BA、DA的延長線上，顯然BE=DG，且BE⊥DG．

（2）解：當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別在BA、DA的延長線上，形成的圖形是一個(gè)等腰梯形BDEG，
通過觀察比較可知，當(dāng)α=90°時(shí)，S有最大值，且S=×3×2×2+×2×2+×3×3=．
當(dāng)S取得最大值時(shí)，α=90°．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到△DAG≌△BAE（SAS），且AD、AB夾角為90°，所以△BAE是△DAG順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的．
（2）當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別在BA、DA的延長線上，形成的圖形是一個(gè)等腰梯形BDEG，且面積最大，可以知道∠BAG=90°．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的判定性質(zhì)，以及有一個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)正方形的對(duì)角線形成的圖形，其面積的最大值的問題．