如圖,在平面直角坐標系中,矩形紙片ABCD的頂點坐標是A(0,0),C(6,4),E(5,0).將矩形紙片沿直線l折疊,設(shè)A′是點A落在矩形CD邊上的對應(yīng)點,點A′的橫坐標為2.直線l與x軸、y軸的交點分別為E、F.
(1)求直線l的解析式;
(2)點P從點E出發(fā),沿射線EF運動,速度為
5
個單位每秒,點Q從點O出發(fā),沿OE向終點E運動,速度為1個單位每秒,當點Q停止時點P也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t,在P、Q運動的過程中,當直線PQ∥A′E時,求此時PQ的長;
(3)在(2)的條件下,∠PQC=90°?若能,請求出t值;若不能,請說明理由.
考點:一次函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)設(shè)OF=x,則DF=4-x,A'F=OF=x,在直角△A'DF中利用勾股定理即可列方程求得x的值,即F的坐標,然后利用待定系數(shù)法即可求解;
(2)作A'F⊥x軸于點F,根據(jù)△OEF∽△HEP,即可利用t表示出PH和EH的長,然后利用△A'FE∽△PHQ,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,即可求得t的值;
(3)作PH⊥x軸于點H,交CD于點G,利用t表示出PQ、PC、CQ的值,當PQ2+QC2=PC2,時有∠PQC=90°,據(jù)此即可列方程求得t的值.
解答:解:(1)設(shè)OF=x,則DF=4-x,A'F=OF=x,
在直角△A'DF中,DF2+D'A2=A'F2,即(4-x)2+22=x2,
解得:x=
5
2

則F的坐標是(0,
5
2
),
設(shè)直線l的解析式是y=kx+b,則
4k+b=0
b=
5
2
,
解得:
k=-
1
2
b=
5
2
,
則直線的解析式是:y=-
1
2
x+
5
2
;
(2)作A'F⊥x軸于點F,則A'F=4EF=5-2=3,
作PH⊥x軸于點H.EF=
(
5
2
)2+52
=
5
5
2
,
則△OEF∽△HEP,
PH
OF
=
EH
OE
=
PE
EF
,即
PH
5
2
=
EH
5
=
5
t
5
5
2
=
2t
5
,
則PH=t,EH=2t,
則HQ=3t-5,
當∠PQH=∠A'EH時,即△A'FE∽△PHQ時,PQ∥A′E,
PH
A′F
=
HQ
EF
,即
t
4
=
3t-5
3
,
解得:t=
20
9
;
∵△A'FE∽△PHQ,
PQ
A′E
=
HQ
HE
=
20
3
-5
40
9
=
3
8
,
則PQ=
3
8
A'E=
3
8
×5=
15
8

(2)作PH⊥x軸于點H,交CD于點G.
OQ=t,則BQ=6-t,在直角△BCQ中,CQ2=16+(6-t)2=t2-12t+52,
同(1)可得PH=t,EH=2t,
則PG=4-t,OH=5-2t,則CG=6-(5-2t)=2t+1,
在直角△PCG中,PC2=PG2+CG2=((4-t)2+(2t+1)2=5t2-4t+17,
OH=OQ+HE-OE=t+2t-5=3t-5,
則HQ=t-(3t-5)=5-2t,
在直角△PHQ中,PQ2=HQ2+PH2=(5-2t)2+t2=5t2-10t+25,
當∠PQC=90°時,PQ2+QC2=PC2,
∴(5t2-10t+25)+(t2-12t+52)=5t2-4t+17,
即t2-18t+60=0,
解得:t=9+
21
(舍去),或9-
21

故t=9-
21
點評:本題是一次函數(shù)求解析式,相似三角形的判定與性質(zhì),以及勾股定理的性質(zhì)定理,正確根據(jù)相似三角形的性質(zhì),利用t表示出圖中的線段長是關(guān)鍵.
練習冊系列答案
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下列命題屬于假命題的是(  )
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某市對市民開展了有關(guān)霧霾的調(diào)查問卷,調(diào)查內(nèi)容是“你認為哪種措施治理霧霾最有效”,有以下四個選項:
A:綠化造林  B:汽車限行  C:拆除燃煤小鍋爐  D:使用清潔能源.
調(diào)查過程隨機抽取了部分市民進行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請回答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的市民共有
 
人.
(2)請你將統(tǒng)計圖1補充完整.
(3)統(tǒng)計圖2中D項目對應(yīng)的扇形的圓心角是
 
度.
(4)已知該市人口為240000人,請根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計該市認同汽車限行的人數(shù).

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已知,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,點E在BC的延長線上,且∠EAC=∠B,以DE為直徑的半圓交AD于點F,交AE于點M.
(1)判斷AF與DF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)只用無刻度的直尺畫出△ADE的邊DE上的高AH;
(3)若EF=4,DF=3,求DH的長.

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計算:(-1)2013×(-
1
2
)-1-|-5|+
8
-(
2
-1)0

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

△ABC中,AB=AC,D是BC邊上一點,連接AD,E為△ABC外一點,連接DE、AE和BE,AD=DE,BE∥AC.
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(2)如圖2,當D為BC中點時,作DF⊥AC于F,連接BF交DE于點H,作AK⊥BF分別交BF、DF于點G、K,AF=4DK,試探究線段DH和AE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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k
x
的圖象與正比例函數(shù)y2=ax(a≠0)的圖象相交于點A(2,2)和點B.
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