Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形紙片ABCD的頂點坐標是A（0，0），C（6，4），E（5，0）．將矩形紙片沿直線l折疊，設(shè)A′是點A落在矩形CD邊上的對應(yīng)點，點A′的橫坐標為2．直線l與x軸、y軸的交點分別為E、F．
（1）求直線l的解析式；
（2）點P從點E出發(fā)，沿射線EF運動，速度為

5

個單位每秒，點Q從點O出發(fā)，沿OE向終點E運動，速度為1個單位每秒，當點Q停止時點P也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t，在P、Q運動的過程中，當直線PQ∥A′E時，求此時PQ的長；
（3）在（2）的條件下，∠PQC=90°？若能，請求出t值；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)OF=x，則DF=4-x，A'F=OF=x，在直角△A'DF中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即F的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）作A'F⊥x軸于點F，根據(jù)△OEF∽△HEP，即可利用t表示出PH和EH的長，然后利用△A'FE∽△PHQ，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得t的值；
（3）作PH⊥x軸于點H，交CD于點G，利用t表示出PQ、PC、CQ的值，當PQ²+QC²=PC²，時有∠PQC=90°，據(jù)此即可列方程求得t的值．

解答：解：（1）設(shè)OF=x，則DF=4-x，A'F=OF=x，
在直角△A'DF中，DF²+D'A²=A'F²，即（4-x）²+2²=x²，
解得：x=

5

2

，
則F的坐標是（0，

5

2

），
設(shè)直線l的解析式是y=kx+b，則

4k+b=0 b= 5 2

，
解得：

k=- 1 2 b= 5 2

，
則直線的解析式是：y=-

1

2

x+

5

2

；
（2）作A'F⊥x軸于點F，則A'F=4EF=5-2=3，
作PH⊥x軸于點H．EF=

( 5 2 )2+52

=

5 5

2

，
則△OEF∽△HEP，
∴

PH

OF

=

EH

OE

=

PE

EF

，即

PH

5 2

=

EH

5

=

5 t

5 5 2

=

2t

5

，
則PH=t，EH=2t，
則HQ=3t-5，
當∠PQH=∠A'EH時，即△A'FE∽△PHQ時，PQ∥A′E，
則

PH

A′F

=

HQ

EF

，即

t

4

=

3t-5

3

，
解得：t=

20

9

；
∵△A'FE∽△PHQ，
∴

PQ

A′E

=

HQ

HE

=

20 3 -5

40 9

=

3

8

，
則PQ=

3

8

A'E=

3

8

×5=

15

8

；
（2）作PH⊥x軸于點H，交CD于點G．
OQ=t，則BQ=6-t，在直角△BCQ中，CQ²=16+（6-t）²=t²-12t+52，
同（1）可得PH=t，EH=2t，
則PG=4-t，OH=5-2t，則CG=6-（5-2t）=2t+1，
在直角△PCG中，PC²=PG²+CG²=（（4-t）²+（2t+1）²=5t²-4t+17，
OH=OQ+HE-OE=t+2t-5=3t-5，
則HQ=t-（3t-5）=5-2t，
在直角△PHQ中，PQ²=HQ²+PH²=（5-2t）²+t²=5t²-10t+25，
當∠PQC=90°時，PQ²+QC²=PC²，
∴（5t²-10t+25）+（t²-12t+52）=5t²-4t+17，
即t²-18t+60=0，
解得：t=9+

21

（舍去），或9-

21

．
故t=9-

21

．

點評：本題是一次函數(shù)求解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的性質(zhì)定理，正確根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用t表示出圖中的線段長是關(guān)鍵．