Question

如圖AB是⊙O的直徑，PA，PC與⊙O分別相切于點A，C，PC交AB的延長線于點D，DE⊥PD交PO的延長線于點E．
（1）求證：DE=DO；
（2）若⊙O的半徑為3，AD=8，求tan∠AOP的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)切線長定理，可得∠1=∠2，然后在直角△PDE和直角△APD中，利用三角形內(nèi)角和定理證得∠3=∠E，即可得到∠4=∠E，根據(jù)等角對等邊即可證得；
（2）連接OC，則△OCD是直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得tan∠ODC=

PA

DA

=

CO

CD

，據(jù)此即可求得PA的長，然后利用正切函數(shù)的定義即可求解．

解答：解：（1）∵PA，PC與⊙O分別相切于點A，C．
∴∠1=∠2，且PA⊥AO，
∴∠PAO=90°，
∵∠EDP=90°，
∴∠3=∠E．
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠E，
∴OD=DE；
（2）連接OC，
∵PC是⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠OCD=90°，
又∵⊙O的半徑是3，AD=8，
∴OC=3，OD=5，
∴CD=4．
又∵在直角△PAD和直角△OCD中，tan∠ODC=

PA

DA

=

CO

CD

．
∴

PA

8

=

3

4

，
∴PA=6，
∴tan∠AOP=

PA

AO

=

6

3

=2．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得到

PA

DA

=

CO

CD

，求得CD的長是關(guān)鍵．