Question

如圖所示．⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D，E分別是ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC=PE．
（1）試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求CD的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：計算題

分析：（1）連結(jié)OC，如圖1，由PC=PE得∠PCE=∠PEC，由CE平分∠ACB得∠ACE=∠BCE，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠PEC=∠EAC+∠ACE，∠PCE=∠PCB+∠BCE，則∠EAC=∠PCB，由AB為⊙O的直徑得∠BAC+∠ABC=90°，加上∠ABC=∠OCB，則∠BAC+∠OCB=90°，所以∠PCB+∠OCB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到直線PC與⊙O相切；
（2）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，如圖2，連結(jié)BI，BD，作IF⊥BC于F，由AB為⊙O的直徑得∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AC=8，則可計算出倍切圓半徑IF=2，再證明△CIF和△ABD為等腰直角三角形得到CI=

2

IF=2

2

，BD=

2

2

AB=5

2

，然后證明DI=DB，從而可確定CD的長．

解答：解：（1）直線PC與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OC，如圖1，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
而∠PEC=∠EAC+∠ACE，∠PCE=∠PCB+∠BCE，
∴∠EAC=∠PCB，
∴AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
而∠ABC=∠OCB，
∴∠BAC+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
∴PC⊥OC，
∴直線PC與⊙O相切；
（2）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，如圖2，
連結(jié)BI，BD，作IF⊥BC于F，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=8，
∵I為△ABC的內(nèi)心，IF為內(nèi)切圓的半徑，
∴IF=

6+8-10

2

=2，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴

AD

=

BD

，
∴AD=BD，
∴△CIF和△ABD為等腰直角三角形，
∴CI=

2

IF=2

2

，BD=

2

2

AB=5

2

，
∵I為△ABC的內(nèi)心，
∴IB平分∠ABC，
∴∠EBI=∠CBI，
∵∠DIB=∠CBI+∠BCI，
∠DBI=∠EBI+∠EBD，
而∠BCD=∠ABD，
∴∠DIB=∠DBI，
∴DI=DB=5

2

，
∴CD=CI+DI=7

2

．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．