如圖,點(diǎn)P是直線上的點(diǎn),過點(diǎn)P的另一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).

(1)若直線的解析式為,求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,),當(dāng)PA=AB時,請直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo);

②試證明:對于直線上任意給定的一點(diǎn)P,在拋物線上都能找到點(diǎn)A,使得PA=AB成立.

(3)設(shè)直線軸于點(diǎn)C,若△AOB的外心在邊AB上,且∠BPC=∠OCP,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

 

【答案】

(1)A(,),B(1,1);(2)①A1(-1,1),A2(-3,9);②過點(diǎn)P、B分別作過點(diǎn)A且平行于軸的直線的垂線,垂足分別為G、H.設(shè)P(),A(,),由PA=PB可證得△PAG≌△BAH,即得AG=AH,PG=BH,則B(),將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線,得,根據(jù)△的值始終大于0即可作出判斷;(3)(,).

【解析】

試題分析:(1)由題意聯(lián)立方程組即可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)①根據(jù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征結(jié)合PA=AB即可求得A點(diǎn)的坐標(biāo);

②過點(diǎn)P、B分別作過點(diǎn)A且平行于軸的直線的垂線,垂足分別為G、H.設(shè)P(,),A(,),由PA=PB可證得△PAG≌△BAH,即得AG=AH,PG=BH,則B(,),將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線,得,根據(jù)△的值始終大于0即可作出判斷;

(3)設(shè)直線交y軸于D,設(shè)A(,),B(,).過A、B兩點(diǎn)分別作AG、BH垂直軸于G、H.由△AOB的外心在AB上可得∠AOB=90°,由△AGO∽△OHB,得,則,聯(lián)立,依題意得、是方程的兩根,即可求得b的值,設(shè)P(,),過點(diǎn)P作PQ⊥軸于Q,在Rt△PDQ中,根據(jù)勾股定理列方程求解即可.

(1)依題意,得解得 

∴A(,),B(1,1);

(2)①A1(-1,1),A2(-3,9);

②過點(diǎn)P、B分別作過點(diǎn)A且平行于軸的直線的垂線,垂足分別為G、H.

設(shè)P(,),A(,),

∵PA=PB,

∴△PAG≌△BAH,

∴AG=AH,PG=BH,

∴B(,),

將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線,得,

∵△=

∴無論為何值時,關(guān)于的方程總有兩個不等的實(shí)數(shù)解,即對于任意給定的點(diǎn)P,拋物線上總能找到兩個滿足條件的點(diǎn)A;

(3)設(shè)直線交y軸于D,設(shè)A(,),B(,).

過A、B兩點(diǎn)分別作AG、BH垂直軸于G、H.

∵△AOB的外心在AB上,

∴∠AOB=90°,

由△AGO∽△OHB,得,

聯(lián)立,

依題意得是方程的兩根,

,即D(0,1).

∵∠BPC=∠OCP,

∴DP=DC=3.

設(shè)P(),過點(diǎn)P作PQ⊥軸于Q,

在Rt△PDQ中,,

解得(舍去),,

∴P().

∵PN平分∠MNQ,

∴PT=NT,

.

考點(diǎn):二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評:此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),在中考中極為常見,一般以壓軸題形式出現(xiàn),難度較大.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

20、如圖,點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn),OC平分∠AOB,在直線AB另一側(cè)以O(shè)為頂點(diǎn)作∠DOE=90°
(1)若∠AOE=48°,那么∠BOD=
42°
;∠AOE與∠DOB的關(guān)系是
互余

(2)∠AOE與∠COD有什么數(shù)量關(guān)系?請寫出你的結(jié)論并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn),CO⊥DO,若∠BOD=37°,則∠AOC=
53
53
°.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn),∠COD=45°,OE,OF分別平分∠AOC和∠DOB,求∠EOF的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn),OC是任一條射線,OD、OE分別是∠AOC和∠BOC的平分線,則∠BOD的補(bǔ)角是
∠AOD或∠COD
∠AOD或∠COD
,∠BOE的余角是
∠COD或∠AOD
∠COD或∠AOD

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,點(diǎn)0是直線AB上一點(diǎn).∠AOE=∠FOD=90°,OD平分∠EOC,
(1)圖中與∠DOE互余的角有
∠EOF,∠DOB
∠EOF,∠DOB

(2)圖中與∠DOE互補(bǔ)的角有
∠BOF
∠BOF

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