Question

（2012•瀘州）如圖，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M₁，M₂，M₃，…M_n分別為邊B₁B₂，B₂B₃，B₃B₄，…，B_nB_n+1的中點，△B₁C₁M₁的面積為S₁，△B₂C₂M₂的面積為S₂，…△B_nC_nM_n的面積為S_n，則S_n=

1

4(2n-1)

．（用含n的式子表示） 

Answer 1

分析：由n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M₁，M₂，M₃，…M_n分別為邊B₁B₂，B₂B₃，B₃B₄，…，B_nB_n+1的中點，即可求得△B₁C₁M_n的面積，又由B_nC_n∥B₁C₁，即可得△B_nC_nM_n∽△B₁C₁M_n，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得答案．

解答：解：∵n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M₁，M₂，M₃，…M_n分別為邊B₁B₂，B₂B₃，B₃B₄，…，B_nB_n+1的中點，
∴S₁=

1

2

×B₁C₁×B₁M₁=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，
S_△B1C1M2=

1

2

×B₁C₁×B₁M₂=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
S_△B1C1M3=

1

2

×B₁C₁×B₁M₃=

1

2

×1×

5

2

=

5

4

，
S_△B1C1M4=

1

2

×B₁C₁×B₁M₄=

1

2

×1×

7

2

=

7

4

，
S_△B1C1Mn=

1

2

×B₁C₁×B₁M_n=

1

2

×1×

2n-1

2

=

2n-1

4

，
∵B_nC_n∥B₁C₁，
∴△B_nC_nM_n∽△B₁C₁M_n，
∴S_△BnCnMn：S_△B1C1Mn=（

BnMn

B1Mn

）²=（

1 2

2n-1 2

）²，
即S_n：

2n-1

4

=

1

(2n-1)2

，
∴S_n=

1

4(2n-1)

．
故答案為：

1

4(2n-1)

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質以及直角三角形面積的公式．此題難度較大，注意掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應用是解此題的關鍵．