Question

如圖，在平面直角坐標系中，開口向下的拋物線與x軸交于A、B兩點，D是拋物線的頂點，O為坐標原點. A、B兩點的橫坐標分別是方程

的兩根，且cos∠DAB＝.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）作AC⊥AD，AC交拋物線于點C，求點C的坐標及直線AC的函數(shù)解析式；

 

Answer 1

解：（1）解方程得，.

∴A（－2，0），B（6，0）. 

過D作DE⊥x軸于E， ∵D是頂點，

∴點E是AB的中點，∴E（2，0）.

在Rt△DAE中，∵cos∠DAB＝，∴∠DAE＝45°，

∴AE＝DE＝4，∴D（2，4）

（由A、B、D三點坐標解出二次函數(shù)解析式，不論用頂點式、兩根式還是一般式均可）

∴拋物線的解析式為（或?qū)懗?sub>）. 

（2）∵AC⊥AD，由（1）∠DAE＝45°得：

∠BAC＝45°，△ACG是等腰直角三角形.

∴設(shè)C（a，b）（顯然a＞0，b＜0），

則b＝―a―2，即C（a，―a―2）

∵點C在拋物線上，∴―a―2＝―（a―2）²＋4

a²―8a―20＝0

解之得：a₁＝10，a₂＝－2（舍去）

∴C（10，－12）

設(shè)直線AC的方程為，代入A、C的坐標，得

   解之得：

∴直線AC的解析式為y＝―x―2.