Question

【題目】如圖1，點(diǎn)P從菱形ABCD的頂點(diǎn)B出發(fā)，沿B→D→A勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，BD的長是；圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PBC的面積y(cm2)隨時(shí)間x(s)變化的函數(shù)圖像．

(1)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是 cm/s；

(2)求a的值；

(3)如圖3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG－EF＝1，若點(diǎn)P、M、N分別從點(diǎn)E、F、G三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)G(即點(diǎn)M與點(diǎn)G重合)時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)；若點(diǎn)P不改變運(yùn)動(dòng)速度，且點(diǎn)P、M、N的運(yùn)動(dòng)速度的比為2:6:3，在運(yùn)動(dòng)過程中，△PFM關(guān)于直線PM的對(duì)稱圖形是△PF'M，設(shè)點(diǎn)P、M、N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位：s)．

①當(dāng)t＝ s時(shí)，四邊形PFMF'為正方形；

②是否存在t，使△PFM與△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）a=；（3）①1.25；②存在，

【解析】

（1）根據(jù)圖2得到點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的時(shí)間，根據(jù)速度的計(jì)算公式計(jì)算即可；

（2）結(jié)合圖形，根據(jù)三角形的面積公式求出a；

（3）①根據(jù)題意求出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，正方形的判定定理得到PF=FM時(shí)，四邊形PFMF，為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)列出方程，解方程即可；

②分△PFM∽△MGN、△PFM∽△NGM兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計(jì)算即可．

解：（1）由圖2知，點(diǎn)P從B運(yùn)動(dòng)到D

∵BD=

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為÷=1（cm/s）

故答案為1．

（2）如圖1，作DQ⊥BC于點(diǎn)Q

當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，a=×BC×DQ

∵四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1

∴AD=BC=1×a=a

∴a=×a×DQ

解得DQ=2

在Rt△BDQ中，BQ==1

∴CQ=a-1

在Rt△CDQ中，CD2=CQ2+DQ2，即a2=(a-1)2+22

解得a=

（3）①∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度1cm/s，點(diǎn)P、M的運(yùn)動(dòng)速度的比為2∶6

∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度3cm/s

由題意得EF=2a=5

∵FG-EF=1

∴FG=6

∴PF=5-t，FM=3t

由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，PF=PF，，FM=FM，

當(dāng)PF= FM時(shí)，PF==PF，= FM=FM，

∴四邊形PFMF，為菱形

∵∠F=90°

∴四邊形PFMF，為正方形

∴5-t=3t

即t=1.25時(shí)，四邊形PFMF，為正方形

②存在

∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度1cm/s，點(diǎn)P、M、N的運(yùn)動(dòng)速度的比為2∶6∶3

∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm/s

∴PF=5-t，FM=3t，GN=1.5t

∵點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為3cn/s，FG=6

∴0≤t≤2

當(dāng)△PFM∽△MGN時(shí)，

即

解得t=

當(dāng)△PFM∽△NGM時(shí)，

即

解得（舍去）

綜上所述，當(dāng)時(shí)，△PFM與△MGN相似．

故答案為（1）1；（2）a=；（3）①1.25；②存在，