Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2，E為BC的中點(diǎn)，以O(shè)E為直徑的⊙O’交x軸于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于F

(1)求OA、OC的長(zhǎng)；

(2)求證：DF為⊙O’的切線

(3)小明在解答本題時(shí)，發(fā)現(xiàn)△AOE是等腰三角形．由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點(diǎn)E以外的點(diǎn)P，使△AOP也是等腰三角形，且點(diǎn)P一定在⊙O’外”．你同意他的看法嗎？請(qǐng)充分說(shuō)明理由

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在矩形OABC中，設(shè)OC＝x則OA＝x＋2，依題意得 　　x(x＋2)＝15解得：x1＝3，x2＝－5 　　x2＝－5(不合題意，舍去)所以O(shè)C＝3，OA＝5……(3分) 　　(只要學(xué)生寫(xiě)出OC＝3，OA＝5，即給3分) 　　(2)連接O’D 　　在矩形OABC中，OC＝AB， 　　 　　所以⊿OCE≌⊿ABE 　　所以EA＝EO 　　所以∠1＝∠2 　　在⊙O’中，因?yàn)镺’O＝O’D 　　所以∠3＝∠1 　　所以∠3＝∠2 　　所以O(shè)’D／／AE 　　因?yàn)镈F⊥AE 　　所以DF⊥O’D 　　又因?yàn)辄c(diǎn)D在⊙O’上，O’D為⊙O’的半徑，所以DF為⊙O’的切線……(6分) 　　(3)不同意，理由如下： 　　①當(dāng)OA＝AP時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AO為半徑畫(huà)弧交BC于P1和P4兩點(diǎn)過(guò)P1點(diǎn)作P1H⊥OA于點(diǎn)H，P1H＝OC＝3，因?yàn)锳P1＝OA＝5 　　所以AH＝4，所以O(shè)H＝1 　　求得點(diǎn)P1(1，3) 　　同理可得：P4(9，3)……(8分) 　�、诋�(dāng)OA＝OP時(shí)，同上可求得P2(4，3)，P3(－4，3)……(10分) 　　因此，在直線BC上，除了E點(diǎn)外，既存在⊙O’內(nèi)的點(diǎn)P1，又存在⊙O’內(nèi)的點(diǎn)P2、P3、P4，它們分別使⊿AOP為等腰三角形……(11分) 　　其他解法，請(qǐng)參照評(píng)分建議酌情給分．