Question

2．如圖坐標系中，點E坐標（3，0），以E為圓心，5為半徑作⊙E與x軸交于A，B兩點，與y軸正半軸交于C點，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A，B，C三點，頂點為F．
（1）寫出A，B，C，三點的坐標：A（-2，0）； B（8，0）； C（0，4）
（2）求拋物線的解析式及頂點F的坐標；
（3）已知M為拋物線上一動點（不與C點重合），試探究：
①使得以A，B，M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等，求所有符合條件的點M的坐標；
②若探究①中的M點位于第一象限，連接M點與拋物線頂點F，試判斷直線MF與⊙E的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可直接得到點A、B的坐標，連接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的長，則得到點C的坐標；
（2）已知點A、B、C的坐標，利用交點式與待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，由解析式得到頂點F的坐標；
（3）①△ABC中，底邊AB上的高OC=4，若△ABC與△ABM面積相等，則拋物線上的點M須滿足條件：|y_M|=4．因此解方程y_M=4和y_M=-4，可求得點M的坐標；
②如解答圖，作輔助線，可求得EM=5，因此點M在⊙E上；再利用勾股定理求出MF的長度，則利用勾股定理的逆定理可判定△EMF為直角三角形，∠EMF=90°，所以直線MF與⊙E相切．

解答 解：（1）∵以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點，
∴A（-2，0），B（8，0）．
如解答圖所示，連接CE．
在Rt△OCE中，OE=AE-OA=5-2=3，CE=5，
由勾股定理得：OC=$\sqrt{C{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∴C（0，4）．

（2）∵點A（-2，0），B（8，0）在拋物線上，
∴可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x-8）．
∵點C（0，4）在拋物線上，
∴4=a×2×（-8），解得a=-$\frac{1}{4}$．
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8）=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+$\frac{25}{4}$，
∴頂點F的坐標為（3，$\frac{25}{4}$）．

（3）①∵△ABC中，底邊AB上的高OC=4，
∴若△ABC與△ABM面積相等，則拋物線上的點M須滿足條件：|y_M|=4．
（I）若y_M=4，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=4，
整理得：x²-6x-32=0，解得x=0（與點C重合，故舍去）或x=6．
∴點M的坐標為（6，4）；
（II）若y_M=-4，則-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-4，
整理得：x²-6x=0，解得x=3+$\sqrt{41}$或x=3-$\sqrt{41}$．
∴點M的坐標為（3+$\sqrt{41}$，-4）或（3-$\sqrt{41}$，-4）．
綜上所述，滿足條件的點M的坐標為：（3+$\sqrt{41}$，-4），（3-$\sqrt{41}$，-4）或（6，4）．
②直線MF與⊙E相切．理由如下：
由題意可知，M（6，-4）．
如解答圖所示，連接EM，MF，過點M作MG⊥對稱軸EF于點G，

則MG=3，EG=4．
在Rt△MEG中，由勾股定理得：ME=$\sqrt{M{G}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴點M在⊙E上．
由（2）知，頂點F的坐標（3，$\frac{25}{4}$），∴EF=$\frac{25}{4}$，
∴FG=EF-EG=$\frac{9}{4}$．
在Rt△MGF中，由勾股定理得：MF=$\sqrt{M{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$．
在△EFM中，∵EM²+MF²=5²+（$\frac{15}{4}$）²=（$\frac{25}{4}$）²=EF²，
∴△EFM為直角三角形，∠EMF=90°．
∵點M在⊙E上，且∠EMF=90°，
∴直線MF與⊙E相切．

點評 本題是代數(shù)幾何綜合題，主要考查了拋物線與圓的相關(guān)知識，涉及到的考點有二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、切線的判定、解一元二次方程等．第（3）①問中，點M在x軸上方或下方均可能存在，注意不要漏解．