Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是梯形，OA∥BC，點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（3，4），點C在y軸的正半軸上．動點M在OA上運動，從O點出發(fā)到A點；動點N在AB上運動，從A點出發(fā)到B點．兩個動點同時出發(fā)，速度都是每秒1個單位長度，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨即停止，設兩個點的運動時間為t（秒）．
（1）求線段AB的長；當t為何值時，MN∥OC；
（2）設△CMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（3）連接AC，那么是否存在這樣的t，使MN與AC互相垂直？若存在，求出這時的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點B作BD⊥OA于點D，
則四邊形CODB是矩形，
BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3．
在Rt△ABD中，AB=．
當MN∥OC時，MN∥BD，
∴△AMN∽△ADB，．
∵AN=OM=t，AM=6-t，AD=3，
∴，
即t=（秒）．

（2）過點N作NE⊥x軸于點E，交CB的延長線于點F，
∵NE∥BD，
∴△AEN∽△ADB，．
即，EN=t．
∵EF=CO=4，
∴FN=4-t．
∵S=S_梯形OABC-S_△COM-S_△MNA-S_△CBN，
∴S=CO（OA+CB）-CO•OM-AM•EN-CB•FN，
=×4×（6+3）-×4t-×（6-t）×t-×3×（4-t）．
即S=t²-t+12（0≤t≤5）．
由S=t²-t+12，
得S=（t-4）²+．
∴當t=4時，S有最小值，且S_最小=．

（3）設存在點P使MN⊥AC于點P
由（2）得AE=t NE=t
∴ME=AM-AE=6-t-t=6-t，
∵∠MPA=90°，
∴∠PMA+∠PAM=90°，
∵∠PAM+∠OCA=90°，
∴∠PMA=∠OCA，
∴△NME∽△ACO
∴NE：OA=ME：OC
∴=
解得t=
∴存在這樣的t，且t=．
分析：（1）求線段AB的長可通過構建直角三角形進行求解．過B作BD⊥OA于D，那么AD=3，BD=4，根據(jù)勾股定理即可求出AB的長．
如果MN∥OC，那么△AMN∽△ABD，可的關于AN，AB，AM，AD的比例關系，其中AN=t，AM=6-t，AD=3，AB=5，由此可求出t的值．
（2）由于三角形CMN的面積無法直接求出，因此可用其他圖形的面積的“和，差”關系來求．△CMN的面積=梯形AOCB的面積-△OCM的面積-△AMN的面積-△CBN的面積．
可據(jù)此來得出S，t的函數(shù)關系式．然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最小值．
（3）易得△NME∽△ACO，利用相似三角形的對應邊成比例得出的等量關系即可得出此時t的值．
點評：本題結合了梯形的性質(zhì)考查了二次函數(shù)的綜合應用，利用數(shù)形結合的思想進行求解是解題的基本思路．