Question

如圖(1)⊙O₁和⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)P，C是⊙O₁上任一點(diǎn)(與點(diǎn)P不重合)實(shí)驗(yàn)操作：將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)C上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)O₁，另一條直角邊所在直線交⊙O₂于點(diǎn)A、B，直線PA、PB分別交⊙O₁于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE(圖(2)是實(shí)驗(yàn)操作備用圖)

探究：(1)你發(fā)現(xiàn)，有什么關(guān)系？用你學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)證明你的發(fā)現(xiàn)；

(2)你發(fā)現(xiàn)線段CE，PE，BF有怎樣的比例關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn)．

(3)如圖(3)若將上述問題⊙O₁和⊙O₂由內(nèi)切變?yōu)橥馇�，其他條件不變，請(qǐng)你探索線段CE、PE、BF有怎樣的比例關(guān)系，并證明．

Answer 1

答案：
解析：

解答：實(shí)驗(yàn)操作，分類探索． 　　(1)CE＝CF．證明：如圖(1)，過P作兩圓的公切線MN，連接EF，∵M(jìn)N為兩圓的外公切線，∴∠NPB＝∠PEF＝∠A，∴EF∥AB． 　　又∵O1C⊥AB，∴O1C⊥EF．又O1C為⊙O1的半徑，∴＝． 　　(2)結(jié)論CE2=BF·PE． 　　證明：如圖(2)連接CF，∵AB切⊙O1于C， 　　∴∠BCF＝∠CPB， 　　∵∠CPB＝∠CPE，∴∠BCF＝∠CPE，又∵⊙O1是四邊形ECFP的外接圓， 　　∴∠CFB＝∠CEP，∴△BCF∽△CPE，∴＝，又＝，∴CE＝CF，∴＝，∴CE2＝BF·PE． 　　(3)結(jié)論CE2＝PE·BF． 　　證明：如圖(3)所示，過點(diǎn)P作兩圓的公切線MN，連接CF、EF、PC，∵O1C⊥BC，O1C為⊙O1的半徑， 　　∴BC切⊙O1于C． 　　又∵M(jìn)N是兩圓內(nèi)公切線， 　　∴∠MPE＝∠EFP，∠NPA＝∠B，∴∠MPE＝ 　　∠NPA，∴∠EFP＝∠B，∴EF∥BC，∴O1C⊥EF，∴CE＝CF，∴CE＝CF，而∠B＝∠EFP，∠EFP＝∠ECP， 　　∴∠B＝∠ECP，又∠PEC＝∠PFC，∴△EPC∽△FCB， 　　∴＝，∴＝，CE2＝PE·BF．

提示：

名師導(dǎo)引：(1)作兩圓公切線MN，＝，(2)證明△BCF∽△CPE；(3)連EF、CP，過P作公切線，證明△EPC∽△FCB．