Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形AOCB是梯形，AB∥OC，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（10，0），OB=OC．
（1）求點B的坐標；
（2）點P從C點出發(fā)，沿線段CO以5個單位/秒的速度向終點O勻速運動，過點P作PH⊥OB，垂足為H，設△HBP的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，過點P作PM∥CB交線段AB于點M，過點M作MR⊥OC，垂足為R，線段MR分別交直線PH、OB于點E、G，點F為線段PM的中點，連接EF，當t為何值時，？

Answer 1

解：（1）如圖1，過點B作BN⊥OC，垂足為N
由題意知OB=OC=10，BN=OA=8
∴ON=，
∴B（6，8）

（2）如圖1，∵∠BON=∠POH，∠ONB=∠OHP=90°
∴△BON∽△POH，
∴
∵PC=5t，
∴OP=10-5t
∴OH=6-3t，PH=8-4t
∴BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4，
∴S=（3t+4）（8-4t）=-6t²+4t+16（0≤t＜2）

（3）①當點G在點E上方時，
如圖2過點B作BN′⊥OC，垂足為N′
BN′=8，CN′=4
∴CB=
∵BM∥PC，BC∥PM
∴四邊形BMPC是平行四邊形
∴PM=BC=4，BM=PC=5t
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC
∵PM∥CB，
∴∠OPD=∠OCB，∠ODP=∠OBC
∴∠OPD=∠ODP
∵∠OPD+∠RMP=90°，∠ODP+∠DPH=90°
∴∠RMP=∠DPH
∴EM=EP
∵點F為PM的中點，
∴EF⊥PM
∵∠EFM=∠PRM=∠EMF+∠PMR=90°
∴△MEF∽△MPR
∴，其中MF=
MR=8，PR=
∴ME=5，EF=
∵，
∴EG=2
∴MG=EM-EG=5-2=3
∵AB∥OC
∴∠MBG=∠BON′
又∵∠GMB=∠ON′B=90°
∴△MGB∽△N′BO
∴，
∴BM=
∴5t=
∴t=

②當點G在點E下方時，如圖3，同理可得MG=ME+EG=5+2=7
∴BM=5t=，
∴t=
∴當t=或t=時，
．
分析：（1）過點B作BN⊥OC，則四邊形ABNO是矩形，BN=AO=8，AB=ON，由勾股定理可求得NB的長；
（2）可證△BON∽△POH，有，由題意知OP=10-5t，OH=6-3tPH=8-4t，BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4，從而求得S的表達式，由于OC=10，故0≤t＜2；
（3）分兩種情況分析：①當點G在點E上方時，如圖2過點B作BN′⊥OC，垂足為N′，先得到四邊形BMPC是平行四邊形，有PM=BC=4，BM=PC=5t，證得∠OPD=∠ODP，由同角的余角相等得到∠RMP=∠DPH，有EM=EP，由于點F為PM的中點，則EF⊥PM，得到∠EMF=∠PMR，∠EFM=∠PRM=90°，有△MEF∽△MPR，有，由條件可得ME=5，EF=，根據(jù)題意知，有EG=2，MG=EM-EG=5-2=3，又可證得△MGB∽△N′BO，有，得BM=，從而求得t的值；②當點G在點E下方時，如圖3，同理可得MG=ME+EG=5+2=7，有BM=5t=，可得t的值．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理以及平行四邊形的性質，平面直角坐標每等知識點，要注意（3）中，要分類討論，從而得出運動時間t的值．不要忽略掉任何一種情況．