Question

5．已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點，交y軸于C點，已知拋物線的對稱軸為x=1，點B（3，0），點C（0，-3），D為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）拋物線的對稱軸上存在一點P，使得△PAC的周長最小，Q為線段BC上一個動點，過Q作QE∥PD交拋物線于E，求當四邊形PDEQ為平行四邊形時，Q點坐標．
（3）在x軸下方且在拋物線上有一動點F，求四邊形OBFC的面積最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)值相等的兩點關于對稱軸對稱，可得A點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PD，QE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得關于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案；
（3）根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）由A、B關于對稱軸對稱，對稱軸為x=1，點B（3，0），得
A（-1，0）．
將A、B、C點的坐標代入函數(shù)解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）如圖1，

連接BC交對稱軸于P，設BC的解析式為y=kx+b，將B、C點坐標代入，
解得k=1，b=-3，
BC的解析式為y=x-3，當x=1時，y=-2，即P（1，-2）．
y=x²-2x-3，當x=1時，y=-4，即D（1，-4）．
PD=-2-（-4）=2．
設Q點坐標為（m，m-3），E（m，m²-2m-3），
QE=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m．
由當四邊形PDEQ為平行四邊形，得
QE=PD，即-m²+3m=2，
解得m=2，m=1（不符合題意，舍），
當m=2時，m-3=-1，
即Q（2，-1）．
當四邊形PDEQ為平行四邊形時，Q點坐標（2，-1）；
（3）如圖2，
，
過F作FH⊥x軸于H點，交BC于G點．
設F（m，m²-2m-3），G點坐標為（m，m-3），
FG=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m．
S_{四邊形OBFC}=S_△OCB+S_BCF=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×3=$\frac{9}{2}$+$\frac{3}{2}$[-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$]，
當m=$\frac{3}{2}$時，S_最大=$\frac{9}{2}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{63}{8}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)值相等的兩點關于對稱軸對稱得出A點坐標是解題關鍵；利用平行四邊形的性質(zhì)得出關于m的方程是解題關鍵；面積的和差得出二次函數(shù)是解題關鍵，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)．