Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中點(diǎn)，CE⊥BD．

（1）求證：BE=AD；

（2）求證：AC是線段ED的垂直平分線；

（3）△DBC是等腰三角形嗎？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：

直角梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定．.

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）把要證明的線段AD和BE放到兩個(gè)三角形ABD和BCE中即可證明；

（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一即可證明；

（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，即可證明CD=BC．

解答：

（1）證明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，

∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠2，

在△BAD和△CBE中，

，

∴△BAD≌△CBE（ASA），

∴AD=BE．

（2）證明：∵E是AB中點(diǎn)，

∴EB=EA，

∵AD=BE，

∴AE=AD，

∵AD∥BC，

∴∠7=∠ACB=45°，

∵∠6=45°，

∴∠6=∠7，

又∵AD=AE，

∴AM⊥DE，且EM=DM，

即AC是線段ED的垂直平分線；

（3）解：△DBC是等腰三角形（CD=BD）．

理由如下：

∵由（2）得：CD=CE，由（1）得：CE=BD，

∴CD=BD．

∴△DBC是等腰三角形．

點(diǎn)評：

綜合運(yùn)用了全等三角形的性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)．此類題注意已證明的結(jié)論的充分運(yùn)用．