Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-8，0），B（0，6），點(diǎn)D、E同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)D沿射線AB運(yùn)動(dòng)，速度為每秒4個(gè)單位；點(diǎn)E沿射線AO運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位．
（1）AB的長為10；
（2）點(diǎn)D、E在運(yùn)動(dòng)過程中，以點(diǎn)E為圓心，ED為半徑的⊙E與直線AB有何位置關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)點(diǎn)C（m，0）為x軸正半軸上的一點(diǎn)，CF⊥直線AB，F(xiàn)為垂足．求t、m為何值時(shí)，以點(diǎn)E為圓心，ED為半徑的⊙E與y軸及直線CF都相切．

Answer 1

分析 （1）易證AO，BO的長，由勾股定理即可求出AB的長；
（2）以ED為半徑的⊙E與直線AB相切，易證△ADE∽△AOB，由相似三角形的性質(zhì)可得：∠ADE=∠AOB=90°，進(jìn)而可證明⊙E與直線AB相切；
（3）因?yàn)椤袳是動(dòng)圓，所以當(dāng)⊙E與y軸及直線CF都相切時(shí)有兩種情況：①當(dāng)⊙E在y軸的左側(cè)與y軸相切；②當(dāng)⊙E在y軸的右左側(cè)與y軸相切，再就兩種情況分別討論求出符合題意的t值即可．

解答 解：（1）∵A（-8，0），B（0，6），
∴AO=8，BO=6，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
故答案為：10；
（2）始終相切，理由如下：
由題意得：AD=4t，AE=5t，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{4}{5}=\frac{AO}{AB}$，
又∵∠DAE=∠OAB，
∴△ADE∽△AOB，
∴∠ADE=∠AOB=90°，
∵點(diǎn)D在AB上，
∴⊙E在運(yùn)動(dòng)過程中保持與AB相切；
（3）①當(dāng)⊙E在y軸的左側(cè)與y軸相切時(shí)，如圖1，DE=OE，3t=8-5t，t=1，
此時(shí)，AE=5，AD=4，DE=3，
∵△ADE∽△AOB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AF}$，
當(dāng)⊙E在y軸及CF都相切時(shí)，DF=DE，
∴$\frac{5}{8+m}=\frac{4}{4+3}$
解得$m=\frac{3}{4}$；
②當(dāng)⊙E在y軸的右左側(cè)與y軸相切時(shí)，如圖2，DE=OE，3t=5t-8，t=4，此時(shí)，AE=20，AD=16，DE=12，
∵△ADE∽△AOB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AF}$，
當(dāng)⊙E在y軸及CF都相切時(shí)，DF=DE，
∴$\frac{20}{8+m}=\frac{16}{16+12}$，
解得m=27．
綜上可知當(dāng)t=1、m=$\frac{3}{4}$或t=4、m=27時(shí)滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識(shí)點(diǎn)有切線的性質(zhì)定理、切線的判定定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想是解題的關(guān)鍵．