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7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=-x2+4mx(m>0)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)P(1,m)作直線PB⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)B,作點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C(點(diǎn)B、C不重合),連結(jié)BC,當(dāng)點(diǎn)P、B不重合時(shí),以BP、BC為邊作矩形PBCQ,設(shè)矩形PBCQ的周長(zhǎng)為l.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求點(diǎn)A的坐標(biāo).
(2)當(dāng)BC=12時(shí),求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.
(3)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B下方時(shí),求l與m之間的函數(shù)關(guān)系.
(4)連結(jié)CP,以CP為直角邊作等腰直角三角形PCM,直接寫出點(diǎn)M落在坐標(biāo)軸上時(shí)m的值.

分析 (1)根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得答案;
(2)根據(jù)BC的長(zhǎng),可得關(guān)于m的方程,根據(jù)解方程,可得m的值;
(3)根據(jù)周長(zhǎng)公式,可得答案;
(4)利用直線PC的斜率求出直線PE的斜率,并求出直線PE的參數(shù)方程,討論點(diǎn)E在x軸與y軸的情況,并分別求出點(diǎn)E的參數(shù)坐標(biāo),根據(jù)PC=PE,利用兩點(diǎn)間距離公式求解.此題也可用開鎖法進(jìn)行求解.

解答 解:(1)當(dāng)m=1時(shí),拋物線的解析式為y=-x2+4x.
當(dāng)y=0時(shí),-x2+4x=0,解得x1=0,x2=4,即A點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0);
(2)當(dāng)y=-x2+4mx中x=1時(shí),y=4m-1,B(1,4m-1).且拋物線的對(duì)稱軸為x=-4m2×1=2m.
當(dāng)點(diǎn)B在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),即m>12時(shí),BC=2(2m-1)=4m-2.
當(dāng)BC=12時(shí),4m-2=12.m=58,這條拋物線的解析式為y=-x2+52x.
當(dāng)BC=12時(shí),2-4m=12.m=38,這條拋物線的解析式為y=-x2+32x.
(3)當(dāng)點(diǎn)B在對(duì)稱軸左側(cè),同時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)B的下方,即13<m<12時(shí),
l=2[2(1-2m)+(4m-1-m)],l=-2m+2.
(4)分三種情況:P在對(duì)稱軸左側(cè),P(1,m),B(1,4m-1),C(4m-1,4m-1),
BC=4m-2,BP=3m-1,
①若∠CPQ=90°,PC=PQ,如圖1,
此時(shí),△CBP≌△PFQ,
∴CB=PF,即4m-2=m,解得m=23,
②若∠PCQ=90°,CP=CQ,如圖2,
此時(shí),△QFP≌△CDQ,
∴DF=CD,即4m-1=4m-1,方程無(wú)解;
∴此種情況不成立.
③如圖3,
B(1,4m-1),P(1,m),C(4m-1,4m-1),
若∠CPQ=90°,PC=PQ,△CBP≌△QFC,
BP=CF,即3m-1=4m-1,解得m=0(舍),
④如圖4,
∠CQP=90°,CQ=CP,
△CBP≌△PFQ,
BP=QF,即4m-1-m=1,解得m=23;
⑤如圖5,
∠CQP=90°,CQ=CP,
△CBP≌△PFQ,
BC=PF,即2-4m=m,解得m=25;
綜上所述:m=23,m=25

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題,利用自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系求點(diǎn)的坐標(biāo);利用BC得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵;要分類討論,以防遺漏;利用全等三角形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵,要分類討論,以防遺漏.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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閱讀“四扇紙風(fēng)車”的制作過(guò)程,解決下列問(wèn)題:“四扇紙風(fēng)車”是如何制作的呢?如圖1,首先,裁剪一塊邊長(zhǎng)為12cm的正方形紙張;將花紋面朝下,使用你的尺子,畫兩條對(duì)角線(或沿其對(duì)角線對(duì)折);找到對(duì)角線的交點(diǎn)O,用按釘按下做個(gè)標(biāo)記;在被交點(diǎn)O所分成的四條線段上靠近交點(diǎn)O的三等分點(diǎn)處分別做標(biāo)記;如圖2,然后由正方形的每個(gè)角開始延對(duì)角線剪開,到記號(hào)處停下;這樣就有8個(gè)可折疊的角,將不相鄰的四個(gè)角(不相鄰指兩角中間隔一角)折向中心;再用鐵絲或釘子把它固定在一根木棍上就制作好了.

任務(wù)一:
(1)如圖2是制作過(guò)程中在對(duì)角線上做好標(biāo)記的示意圖,請(qǐng)求出正方形每個(gè)角處沿對(duì)角線剪開的長(zhǎng)度;
(2)求出標(biāo)記點(diǎn)E到正方形ABCD的頂點(diǎn)B的距離.
任務(wù)二:
若將“距交點(diǎn)O的23處做標(biāo)記”改為“距交點(diǎn)O的12處做標(biāo)記”并將不相鄰的四個(gè)角折疊、壓平,使角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)O重合,其余條件不變.
(1)請(qǐng)?jiān)趫D3中,把“四扇紙風(fēng)車”的示意圖補(bǔ)充完整,并將重疊部分圖上陰影;
(2)求出(1)中補(bǔ)充完整后的“四扇紙風(fēng)車”示意圖中重疊部分的面積.

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(1)分別直接寫出直線l與雙曲線的解析式:y1=-x+5,y2=4x;
(2)若將直線l向下平移m(m>0)個(gè)單位,當(dāng)m為何值時(shí),直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn);
(3)當(dāng)y1<y2時(shí),直接寫出x的取值范圍0<x<1或x>4.

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19.如圖所示,有一個(gè)圓柱體,高為12cm,底面半徑為3cm,在圓柱下底面A處有一只蜘蛛.它想到上底面B處捉住一只蒼蠅,則蜘蛛所走的最短路線長(zhǎng)應(yīng)為多少cm(π取3.0).

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16.在平面直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為3的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上,點(diǎn)O在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,AB邊交直線y=x于點(diǎn)M,BC邊交x軸于點(diǎn)N(如圖).在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中,△MBN的周長(zhǎng)為6.

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