Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=12，OC=9，連接AC．

（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)：　 　；點(diǎn)B的坐標(biāo)：　 　；

（2）若CD平分∠ACO，交x軸于D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，經(jīng)過點(diǎn)D的直線交直線BC于E，當(dāng)△CDE為以CD為底的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（12，0），（12，9）；（2）D（，0）；（3）E（，9）．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)即可解決問題；

（2）如圖1中，作DM⊥AC于M．由Rt△CDO≌Rt△CDM（HL），推出CM=OC=9，由AC==15，推出AM=6，設(shè)OD=DM=m，在Rt△ADM中，根據(jù)AD2=DM2+AM2，構(gòu)建方程即可解決問題；

（3）如圖2中，作線段CD的中垂線EF，垂足為F，交BC 于E，則EC=ED，△ECD是以CD為底的等腰三角形．想辦法求出直線EF的解析式即可解決問題；

解：（1）∵四邊形OABC是矩形，

∴AB=OC=9，BC=OA=12，

∴A（12，0），B（12，9），

故答案為（12，0），（12，9）；

（2）如圖1中，作DM⊥AC于M．

∵DC平分∠ACO，DO⊥CO，DM⊥AC，

∴DO=DM，∠COD=∠CMD=90°，

∵CD=CD，

∴Rt△CDO≌△Rt△CDM（HL），

∴CM=OC=9，

∵AC==15，

∴AM=6，設(shè)OD=DM=m，

在Rt△ADM中，∵AD2=DM2+AM2，

∴x2+62=（12﹣x）2，

解得x=，

∴D（，0）．

（3）如圖2中，作線段CD的中垂線EF，垂足為F，交BC 于E，則EC=ED，△ECD是以CD為底的等腰三角形．

∵C（0，9），D（，0），

∴直線CD的解析式為y=﹣2x+9，

∴F（ ，），

∴直線EF的解析式為y=x+ ，

當(dāng)y=9時(shí)，x= ，

∴E（，9）．