Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx-2k+6經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q．
（1）直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)

 

；
（2）點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，∠QOM=45°，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)相等（如圖1），求直線QM的解析式；
（3）在（2）條件下，過(guò)點(diǎn)M作MA⊥x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)Q作QB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)E為第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，∠AEO=45°，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)（如圖2），求線段CE長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）y=kx-2k+6=k（x-2）+6，則當(dāng)x-2=0，即x=2時(shí)，y的值與k無(wú)關(guān)，據(jù)此即可求得G的坐標(biāo)；
（2）延長(zhǎng)BQ，AM交于點(diǎn)F．連接OF，作QG⊥OF于點(diǎn)G，證明△OQG∽△OMA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得AE的長(zhǎng)，則E的坐標(biāo)可以求得，然后利用待定系數(shù)法即可求解；
（3）E在圓心在OA的上邊，且弦OA所對(duì)的圓心角是90°的圓上，據(jù)此即可求得圓心的坐標(biāo)，從而求解．

解答：解：（1）y=kx-2k+6=k（x-2）+6，
則當(dāng)x-2=0，即x=2時(shí)，y的值與k無(wú)關(guān)，
則G的坐標(biāo)是（2，6）；
（2）延長(zhǎng)BQ，AM交于點(diǎn)F．連接OF，作QG⊥OF于點(diǎn)G．
則四邊形AOBF是正方形，△QFG是等腰直角三角形，且OA=OB=BF=AF=6，BQ=2，
則QF=4，
∴QG=QF×

2

2

=4×

2

2

=2

2

，
在直角△OBQ中，OQ=

OB2+BQ2

=

62+22

=2

10

，
∴直角△OQG中，OG=

OQ2-QG2

=

40-8

=4

2

．
∵正方形AOBF中，∠AOB=90°，∠AOF=45°，
又∵∠QOM=45°，
∴∠QOG+∠FOM=∠FOM+∠AOM=45°，
∴∠QOG=∠AOM，
又∵∠OGQ=∠AOM
∴△OQG∽△OMA，
∴

QG

AM

=

OG

OA

，即

2 2

AM

=

4 2

8

，
∴AM=4，
∴M的坐標(biāo)是（6，4）．
設(shè)直線QM的解析式是y=kx+b，
則

2k+b=6 6k+b=4

，
解得：

k=- 1 2 b=7

，
則直線的解析式是：y=-

1

2

x+7；
（3）∵∠AEO=45°，
∴E在圓心在OA的上邊，且弦OA所對(duì)的圓心角是90°的圓上，設(shè)圓心是N，則N的坐標(biāo)是（3，3），圓的半徑是3

2

，
又∵點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，
∴C的坐標(biāo)是（0，3），
則CN∥x軸，
則當(dāng)E是CN的延長(zhǎng)線與圓N的交點(diǎn)時(shí)，線段CE最長(zhǎng)，則最大的長(zhǎng)度是：3+3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)、正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確證明△OQG∽△OMA，以及確定E的位置是關(guān)鍵．