Question

直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，BC=4

3

，CD=8．過C點(diǎn)且垂直于AC的直線l以每秒2個(gè)單位的速度沿CA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)P、Q分別從A、B出發(fā)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒

3

個(gè)單位，設(shè)P、Q點(diǎn)與直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）試說明△ACD為等邊三角形．
（2）t為何值時(shí)，以P為圓心，PQ長為半徑的圓與直線l相切？
（3）求梯形ABCD與直線l在運(yùn)動(dòng)過程中所掃過的區(qū)域的重疊部分的面積S（用含t的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由∠B=90°，AB=4，BC=4

3

，CD=8．易求得AC=CD=8，∠ACD=60°，即可證得△ACD為等邊三角形．
（2）首先連接PQ，作PH⊥AB于H，易求得PQ=4-t，證得四邊形PHBQ是矩形，然后設(shè)直線l與AC的垂足為E，若⊙P與l相切，則PE=PQ，即可得2t+（4-t）+2t=8或2t+2t-（4-t）=8，繼而求得答案；
（3）分別從當(dāng)0≤t≤2時(shí)，當(dāng)2≤t≤3時(shí)，當(dāng)3≤t≤4時(shí)去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=4

3

，
∴tan∠ACB=

AB

BC

=

3

3

，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AB=8，
∵AB∥CD，CD=8，
∴∠BCD=90°，AC=CD，
∴∠ACD=60°，
∴△ACD為等邊三角形．

（2）連接PQ，作PH⊥AB于H，
∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴PH∥BQ，∠BAC=60°，
在Rt△APH中，∠APH=30°，AP=2t，
∴AH=AP•cos60°=t，PH=AP•sin60°=

3

t，
∵BQ=

3

t，
∴PH=BQ，
∴四邊形PHBQ是矩形，
∴PQ=BH=4-t，
設(shè)直線l與AC的垂足為E，若⊙P與l相切，則PE=PQ，
∵CE=2t，AC=AP+PE+CE或AC=AP+CE-PE，
即2t+（4-t）+2t=8或2t+2t-（4-t）=8，
解得：t=

4

3

或t=

12

5

；

（3）設(shè)直線l在運(yùn)動(dòng)過程中，與CD與AD的交點(diǎn)為M，與BC，AB的交點(diǎn)為N，與AC的交點(diǎn)為E，
當(dāng)直線過點(diǎn)D時(shí)，
∵CD=8，∠ACD=60°，CE=2t，
∴CD=2CE=4t=8，
∴t=2；
當(dāng)直線l過點(diǎn)B時(shí)，CN=

CE

cos30°

=

4 3

3

t=4

3

，
∴t=3；
當(dāng)直線l過點(diǎn)A時(shí)，2t=8，
∴t=4；
①如圖（1），當(dāng)0≤t≤2時(shí)，在Rt△CEN中，CN=

4 3

3

t，
在Rt△CEM中，CM=2CE=4t，
∴S=

1

2

CN•CM=

1

2

×

4 3

3

t×4t=

8 3

3

t²；
②如圖（2），當(dāng)2≤t≤3時(shí)，
∵AE=AC-CE=8-2t，
∴EM=

3

（8-2t），EN=

2 3

3

t，
∴S_△AEM=

1

2

AE•EM=

1

2

×

3

（8-2t）•（8-2t）=2

3

（4-t）²，S_△ACD=16

3

，S_△CEN=

1

2

CE•EN=

2 3

3

t²，
∴S=S_△ACD-S_△AEM+S_△CEN=-

4 3

3

t²+16

3

t-16

3

；
③當(dāng)3≤t≤4時(shí)，
∵S_△AEM=2

3

（4-t）²，S_△AEN=

1

2

AE•EN=

1

2

×（8-2t）×

3

（8-2t）=2

3

（4-t）²，S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•BC=24

3

，
∴S=S_梯形ABCD-S_△AEM-S_△AEN=-4

3

t²+32

3

t-40

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)以及矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．