Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=2x²+mx+n經(jīng)過點A（-1，a），B（3，a），且最低點的縱坐標(biāo)為-4．
（1）求拋物線的表達式及a的值；
（2）設(shè)拋物線頂點C關(guān)于y軸的對稱點為點D，點P是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在點A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點），如果直線DP與圖象G恰好有兩個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求點P縱坐標(biāo)t的取值范圍．
（3）拋物線上有一個動點Q，當(dāng)點Q在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足S_△QAB=12，并求出此時Q點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A和B的縱坐標(biāo)相同，則一定是對稱點，則可以求得對稱軸，則拋物線的頂點坐標(biāo)即可求得，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式和a的值；
（2）首先求出直線CD的表達式和直線BD的表達式，然后求得直線BD與x軸的交點，根據(jù)圖象即可確定；
（3）首先求得AB的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求得AB邊上的高，從而求得Q的縱坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式求得Q的橫坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=2x²+mx+n過點A（-1，a ），B（3，a），
∴拋物線的對稱軸x=1．
∵拋物線最低點的縱坐標(biāo)為-4，
∴拋物線的頂點是（1，-4）．
∴拋物線的表達式是y=2（x-1）²-4，
即y=2x²-4x-2．
把A（-1，a ）代入拋物線表達式y(tǒng)=2x²-4x-2，則a=4；
（2）∵拋物線頂點C（1，-4）關(guān)于y軸的對稱點為點D，
∴D（-1，-4）．
求出直線CD的表達式為y=-4．
B的坐標(biāo)是（3，4），設(shè)BD的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{-k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
則直線BD的表達式為y=2x-2，當(dāng)x=1時，y=0．
所以-4＜t≤0；
（3）存在點Q，使△QAB的面積等于12，
AB=3-（-1）=4，
設(shè)P到AB的距離是d，則$\frac{1}{2}$×4d=12，
解得：d=6，
則Q的縱坐標(biāo)是4-6=-2，或4+6=10．
當(dāng)Q的縱坐標(biāo)是-2時，在y=2x²-4x-2中令y=-2，則2x2-4x=0，
解得：x=0或2，
則Q的坐標(biāo)是（0，-2）或（2，-2）；
當(dāng)Q的坐標(biāo)是10時，在y=2x²-4x-2中令y=-2，則2x2-4x-2=10，
解得：x=1+$\sqrt{7}$或1-$\sqrt{7}$，
則Q的坐標(biāo)是（1+$\sqrt{7}$，10）或（1-$\sqrt{7}$，10）．
總之，Q的坐標(biāo)是：（0，-2）或（2，-2）或（1+$\sqrt{7}$，10）或（1-$\sqrt{7}$，10）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及三角形的面積公式，根據(jù)三角形的面積公式確定Q的縱坐標(biāo)是關(guān)鍵．