Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AC平分∠DAB．
（1）試說明：AD⊥DC；
（2）若AD=1，AC=

5

2

，求AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，根據(jù)CD與⊙O相切，所以O(shè)C⊥CD，再由OA=OC，得出∠2=∠3，根據(jù)AC平分∠DAB，則∠2=∠1，等量代換得出∠3=∠1，從而得出AD∥OC，所以∠ADC=∠OCE=90°，即AD⊥DC．
（2）連接BC．根據(jù)AB是⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，由（1）得出∠2=∠1，則△ACD∽△ABC，從而得出

AD

AC

=

AC

AB

，即AC²=AD•AB，得出AB即可．

解答：解：（1）連接OC，
∵CD與⊙O相切，
∴OC⊥CD，
∴∠OCE=90°，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∵AC平分∠DAB，
∴∠2=∠1，
∴∠3=∠1，
∴AD∥OC，
∴∠ADC=∠OCE=90°，
∴AD⊥DC．

（2）連接BC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠3=∠1，
∴△ACD∽△ABC，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴AC²=AD•AB，
∴AB=（

5

2

）²=

5

4

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，直徑所對的圓周角等于90度．