Question

如圖，BD是⊙O的直徑，OA⊥OB，M是劣弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作⊙O的切線MP交OA的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，MD與OA交于N點(diǎn)．
（1）求證：PM=PN；
（2）若BD=4，PA=AO，過點(diǎn)B作BC∥MP交⊙O于C點(diǎn)，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OM，MP是圓的切線，OM⊥PM，由角的等量關(guān)系可證∠DMP=∠MNP，由此得證．
（2）設(shè)BC交OM于E，已知直徑BD的長(zhǎng)，即可得到半徑OA、OM的長(zhǎng)，根據(jù)PA、OA的比例關(guān)系，可求出PA、PO的長(zhǎng)，通過證△POM∽△OBE，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求出BE的長(zhǎng)，從而根據(jù)垂徑定理求出BC的值．
解答：（1）證明：連接OM，
∵M(jìn)P是圓的切線，∴OM⊥PM，
∴∠OMD+∠DMP=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠OND+∠ODM=90°，
∵∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD，
∴∠DMP=∠MNP，
∴PM=PN．

（2）解：設(shè)BC交OM于E，
∵BD=4，OA=OB=BD=2，
∴PA=3，
∴PO=5；
∵BC∥MP，OM⊥MP，
∴OM⊥BC，∴BE=BC；
∵∠BOM+∠MOP=90°，
在直角三角形OMP中，
∠MPO+∠MOP=90°，
∴∠BOM=∠MPO；
∵∠BEO=∠OMP=90°，
∴△OMP∽△BEO，
∴，即=，
解得：BE=，
∴BC=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)和相似三角形的有關(guān)知識(shí)，題不是很難，做題要細(xì)心．