Question

7．如圖，一次函數(shù)y₁=k₁x+1與反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$圖象交于點A（$\sqrt{3}$，m）和點B（-2$\sqrt{3}$，-1），與x軸交于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，若M為x軸上一動點，N為y軸上一動點，以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，則寫出符合條件的所有M點的坐標分別為（2$\sqrt{3}$，0）或（-2$\sqrt{3}$，0）或（0，0）．．

Answer 1

分析 由A與B為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，將B坐標代入反比例函數(shù)解析式中，求出k₂的值，確定出反比例解析式，再將A的坐標代入反比例解析式中求出m的值，確定出A的坐標，利用一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形進而得出答案．

解答 解：∵一次函數(shù)y₁=k₁x+1與反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$圖象交于點A（$\sqrt{3}$，m）和點B（-2$\sqrt{3}$，-1），
∴k₂=（-2$\sqrt{3}$）×（-1）=2$\sqrt{3}$，-1=-2$\sqrt{3}$k₁+1
∴k₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y₂=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$
∴m=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=2，
∴A（$\sqrt{3}$，2），y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
∴C（-$\sqrt{3}$，0），
如圖．
分兩種情況：
①當M點和A點相鄰時．四邊形M₁ACN₁是平行四邊形，
∴M₁（2$\sqrt{3}$，0），N₁（0，-2）；
②當M和C點相鄰時．四邊形N₂ABM₂是平行四邊形，
∴M₂（-2$\sqrt{3}$，0），N₂（0，2）；
當AC為對角線時，四邊形ACNM是平行四邊形，
∴M₃（0，0），N₃（0，2）．
綜上可知，符合條件的M、N點的坐標分別為M₁（2$\sqrt{3}$，0），N₁（0，-2）或M₂（-2$\sqrt{3}$，0），N₂（0，2）或M₃（0，0），N₃（0，2），
故答案為（2$\sqrt{3}$，0）或（-2$\sqrt{3}$，0）或（0，0）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強，有一定難度，注意分類討論思想的運用．